Taylor! < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 15.05.2018 | | Autor: | Flowbro |
| Aufgabe | nr1
Es seien f ∈ [mm] C^n([a,b]) [/mm] mit a < b und T = [mm] T_{f,x0,n} [/mm] das Taylor-Polynom in einem festen [mm] x_{0} [/mm] ∈ [a,b]. Zeigen Sie, falls ein Polynom P vom Grad kleiner gleich n existiert mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n} [/mm] = 0, dass dann P = T folgt.
nr2
Zeigen Sie fürr f ∈ [mm] C^3(R) [/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1: [mm] \bruch{(x + h)-f(x-h)}{2h} [/mm] −f'(x) = [mm] \bruch{f'''(\alpha) + f'''(\beta)}{12}h^2 [/mm] mit gewissen [mm] \alpha, \beta [/mm] ∈R.
nr3
Finden Sie a,b,c ∈R, so dass für alle f ∈ [mm] C^3(R) [/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1 gilt:
[mm] |\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)|\le [/mm] K|h|, wobei wobei K > 0 von f und x abhängen darf. (Taylor der Ordnung 3) |
Im Rahmen eines Proseminars soll ich mich mit Taylorfolgen beschäftigen.
Da ich dies noch nie so richtig hatte, würde ich mich sehr über Hilfe freuen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 Mi 16.05.2018 | | Autor: | fred97 |
Bitte eröffne für jede dieser drei Aufgaben eine eigene Diskussion !
Ich zeige Dir mal Nr. 1.
> nr1
> Es seien f ∈ [mm]C^n([a,b])[/mm] mit a < b und T = [mm]T_{f,x0,n}[/mm] das
> Taylor-Polynom in einem festen [mm]x_{0}[/mm] ∈ [a,b]. Zeigen Sie,
> falls ein Polynom P vom Grad kleiner gleich n existiert mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 0, dass dann P = T folgt.
Ich denke es lautet nicht \limes_{x\rightarrow\infty} sondern \limes_{x\rightarrow x_0}.
Stimmts ?
Für 0 \le k \le n ist $ \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^k}= \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n}(x-x_0)^{n-k}}=0$
Für k=0 liefert dies f(x_0)=P(x_0).
Für k=1 bekommen wir mit l'Hospital
$0= \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{x-x_{0}}= \lim_{x \to x_0}(f'(x)-P'(x))=f'(x_0)-P'(x_0), also f'(x_0)=P'(x_0).
Zweimalige Anwendung von l'Hospital liefert dann , mit k=2: f''x_0)=P''(x_0).
Etc....
Fazit: f^{(k)}(x_0)=P^{(k)}(x_0) für k=0,1,...,n.
Das bedeutet: T=P.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mi 16.05.2018 | | Autor: | fred97 |
>
> nr2
> Zeigen Sie fürr f ∈ [mm]C^3(R)[/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1:
> [mm]\bruch{(x + h)-f(x-h)}{2h}[/mm] −f'(x) = [mm]\bruch{f'''(\alpha) + f'''(\beta)}{12}h^2[/mm]
> mit gewissen [mm]\alpha, \beta[/mm] ∈R.
Nach Taylor gibt es ein [mm] \alpha [/mm] zwischen x und x+h mit
(1) [mm] f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+\frac{1}{6}f'''( \alpha)h^3.
[/mm]
Ebenso ach Taylor gibt es ein $ [mm] \beta [/mm] $ zwischen x und x-h mit
(2) $ [mm] f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2-\frac{1}{6}f'''( \beta)h^3. [/mm] $
Nun subtrahiere (2) von (1).
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Mi 16.05.2018 | | Autor: | Flowbro |
oh, super dankeschön an dich Fred!
Jetzt hast du mir schon zwei meiner Fragen beantwortet und ja bei meiner nr1 meinte ich [mm] x_{0}!
[/mm]
Kein Problem, ich werde meine dritte Frage in einen anderen Forenthread umwandeln
Viele liebe Grüße Florian!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Mi 16.05.2018 | | Autor: | fred97 |
>
> nr3
> Finden Sie a,b,c ∈R, so dass für alle f ∈ [mm]C^3(R)[/mm] und
> x,h ∈R mit |h|≤ 1 gilt:
> [mm]|\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)|\leK|h|,[/mm]
Im Quelltext sehe ich , dass es lautet:
[mm]|\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)| \le K|h|,[/mm]
> wobei
> wobei K > 0 von f und x abhängen darf. (Taylor der Ordnung
> 3)
> Im Rahmen eines Proseminars soll ich mich mit Taylorfolgen
> beschäftigen.
> Da ich dies noch nie so richtig hatte, würde ich mich
> sehr über Hilfe freuen!
|
|
|
|
