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Taylor!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Di 15.05.2018
Autor: Flowbro

Aufgabe
nr1
Es seien f ∈ [mm] C^n([a,b]) [/mm] mit a < b und T = [mm] T_{f,x0,n} [/mm] das Taylor-Polynom in einem festen [mm] x_{0} [/mm] ∈ [a,b]. Zeigen Sie, falls ein Polynom P vom Grad kleiner gleich n existiert mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n} [/mm] = 0, dass dann P = T folgt.

nr2
Zeigen Sie fürr f ∈ [mm] C^3(R) [/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1: [mm] \bruch{(x + h)-f(x-h)}{2h} [/mm] −f'(x) = [mm] \bruch{f'''(\alpha) + f'''(\beta)}{12}h^2 [/mm] mit gewissen [mm] \alpha, \beta [/mm] ∈R.

nr3
Finden Sie a,b,c ∈R, so dass für alle f ∈ [mm] C^3(R) [/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1 gilt:
[mm] |\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)|\le [/mm] K|h|, wobei wobei K > 0 von f und x abhängen darf. (Taylor der Ordnung 3)


Im Rahmen eines Proseminars soll ich mich mit Taylorfolgen beschäftigen.
Da ich dies noch nie so richtig hatte, würde ich mich sehr über Hilfe freuen!

        
Bezug
Taylor!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Mi 16.05.2018
Autor: fred97

Bitte eröffne für jede dieser drei Aufgaben eine eigene Diskussion !

Ich zeige Dir mal Nr. 1.




> nr1
>  Es seien f ∈ [mm]C^n([a,b])[/mm] mit a < b und T = [mm]T_{f,x0,n}[/mm] das
> Taylor-Polynom in einem festen [mm]x_{0}[/mm] ∈ [a,b]. Zeigen Sie,
> falls ein Polynom P vom Grad kleiner gleich n existiert mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> = 0, dass dann P = T folgt.

Ich denke es lautet nicht \limes_{x\rightarrow\infty} sondern \limes_{x\rightarrow x_0}.

Stimmts ?

Für 0 \le k \le n ist  $ \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^k}=  \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n}(x-x_0)^{n-k}}=0$


Für k=0 liefert dies f(x_0)=P(x_0).

Für k=1 bekommen wir mit l'Hospital

$0= \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{x-x_{0}}= \lim_{x \to x_0}(f'(x)-P'(x))=f'(x_0)-P'(x_0), also f'(x_0)=P'(x_0).

Zweimalige Anwendung von l'Hospital liefert dann , mit k=2:  f''x_0)=P''(x_0).

Etc....

Fazit: f^{(k)}(x_0)=P^{(k)}(x_0)  für k=0,1,...,n.

Das bedeutet: T=P.




>


Bezug
        
Bezug
Taylor!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 16.05.2018
Autor: fred97


>
> nr2
>  Zeigen Sie fürr f ∈ [mm]C^3(R)[/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1:
> [mm]\bruch{(x + h)-f(x-h)}{2h}[/mm] −f'(x) = [mm]\bruch{f'''(\alpha) + f'''(\beta)}{12}h^2[/mm]
> mit gewissen [mm]\alpha, \beta[/mm] ∈R.

Nach Taylor gibt es ein [mm] \alpha [/mm] zwischen x und x+h mit

(1) [mm] f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+\frac{1}{6}f'''( \alpha)h^3. [/mm]

Ebenso ach Taylor gibt es ein $ [mm] \beta [/mm] $ zwischen x und x-h mit

(2) $ [mm] f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2-\frac{1}{6}f'''( \beta)h^3. [/mm] $

Nun subtrahiere (2) von (1).




>  


Bezug
                
Bezug
Taylor!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Mi 16.05.2018
Autor: Flowbro

oh, super dankeschön an dich Fred!

Jetzt hast du mir schon zwei meiner Fragen beantwortet und ja bei meiner nr1 meinte ich [mm] x_{0}! [/mm]

Kein Problem, ich werde meine dritte Frage in einen anderen Forenthread umwandeln

Viele liebe Grüße Florian!!!

Bezug
        
Bezug
Taylor!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Mi 16.05.2018
Autor: fred97


>  
> nr3
>  Finden Sie a,b,c ∈R, so dass für alle f ∈ [mm]C^3(R)[/mm] und
> x,h ∈R mit |h|≤ 1 gilt:
>  [mm]|\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)|\leK|h|,[/mm]

Im Quelltext sehe ich , dass es lautet:

[mm]|\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)| \le K|h|,[/mm]

> wobei
> wobei K > 0 von f und x abhängen darf. (Taylor der Ordnung
> 3)
>  Im Rahmen eines Proseminars soll ich mich mit Taylorfolgen
> beschäftigen.
>  Da ich dies noch nie so richtig hatte, würde ich mich
> sehr über Hilfe freuen!


Bezug
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