matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisTaylor
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis" - Taylor
Taylor < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Mi 01.09.2004
Autor: komul

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.     :-)


Taach,

Ich habe folgende Funktion:

f: (0; [mm] \infty) [/mm] ->  [mm] \IR [/mm] mit f(x)= ln  [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

um x=1

Gesucht ist das Taylorpolynom vom Grade 2 und die Näherung von ln(0,9)

Als Taylorpolynom vom Grade 2 habe ich:

-(x-1)+0,5(x-1)²

dies Entspricht der Musterlösung.

Die Lösung der Berechnung der Näherung ist laut Musterlösung =(-0,105)

Ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte wie man darauf kommt...

Gruß Christian  


        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 01.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Christian

aus der Fragestellung schliesse ich, dass lediglich der errechnete Näherungswert nicht klar ist.

>
> f: (0; [mm]\infty)[/mm] ->  [mm]\IR[/mm] mit f(x)= ln  [mm]\bruch{1}{x} [/mm]

>  
> um x=1
>  
> Gesucht ist das Taylorpolynom vom Grade 2 und die Näherung
> von ln(0,9)
>  
> Als Taylorpolynom vom Grade 2 habe ich:
>  
> -(x-1)+0,5(x-1)²
>
> dies Entspricht der Musterlösung.
>
> Die Lösung der Berechnung der Näherung ist laut
> Musterlösung =(-0,105)
>  
> Ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte
> wie man darauf kommt...
>  

Nun, wenn die Näherungsformel für [mm] $ln{\bruch{1}{x}}$ [/mm] bekannt ist, dann muss doch als erstes nur herausgefunden werden, welcher Wert für x denn einzusetzen ist, damit
[mm] $\bruch{1}{x}= [/mm] 0.9$
ist.

Mit $0.9 = [mm] \bruch{9}{10}$ [/mm] erhalte ich:

[mm] $\bruch{1}{x}=\bruch{9}{10}$ [/mm]

Also:$ [mm] x=\bruch{10}{9}$ [/mm]

Somit ist [mm] $x-1=\bruch{1}{9}$ [/mm]

Dies in der Näherungsformel eingesetzt:

[mm] $-\bruch{1}{9}+\bruch{1}{2*81}=-\bruch{17}{162}$ [/mm]

Nach meinem Taschenrechner ist das etwa der von dir angegebene Wert:

$-0.104938...$

Mit lieben Grüssen



Bezug
                
Bezug
Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 01.09.2004
Autor: komul

Danke, ich verstehe was du gemacht hast. Ich habe aber noch ein kleines Problem. Die meisten mir vorliegenden Aufgaben sehen in etwa so aus:


Von einer Funktion f:  [mm] \IR+ [/mm] ->  [mm] \IR [/mm] sei bekannt:
f(2)=0
f´(x)=  [mm] \bruch{8}{x} [/mm] exp[2- [mm] \bruch{x²}{2}] [/mm]

a) das Taylorpolynom des Grade 2 um x=2 ist hier

4*(x-2)-5*(x-2)²

b) Berechnen sie die Näherung von f(2,2)

da muss ich dann nur noch die 2,2 in das Taylorpolynom einsetzten und voila, ich habe meine Näherung(=0,6).
Warum funktioniert das in der ersten Aufgabe nicht so? Einfach 0,9 einsetzen führt zu dem Ergebnis 0,105 und ist zwar irgendwie sehr ähnlich aber dennoch nicht dasselbe wie -0,105.

Noch mal Danke für die schnelle Antwort

Christian




Bezug
                        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mi 01.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Christian

entschuldige, ich habe in meiner 1. Antwort ganz übersehen, dass du neu bist hier im Matheraum und dich gar nicht richtig begrüsst. Das sei nun nachgeholt:

[willkommenmr]

> Danke, ich verstehe was du gemacht hast. Ich habe aber noch

Das freut mich! :-)

> ein kleines Problem. Die meisten mir vorliegenden Aufgaben
> sehen in etwa so aus:
>  
>
> Von einer Funktion f:  [mm]\IR+[/mm] ->  [mm]\IR[/mm] sei bekannt:

>  f(2)=0
>  f´(x)=  [mm]\bruch{8}{x}[/mm] exp[2- [mm]\bruch{x²}{2}] [/mm]
>  
> a) das Taylorpolynom des Grade 2 um x=2 ist hier
>
>
> 4*(x-2)-5*(x-2)²
>  
> b) Berechnen sie die Näherung von f(2,2)
>  
> da muss ich dann nur noch die 2,2 in das Taylorpolynom
> einsetzten und voila, ich habe meine Näherung(=0,6).

[ok] Ja, das ist alles korrekt.

>  Warum funktioniert das in der ersten Aufgabe nicht so?
> Einfach 0,9 einsetzen führt zu dem Ergebnis 0,105 und ist
> zwar irgendwie sehr ähnlich aber dennoch nicht dasselbe wie
> -0,105.
>

Der Unterschied liegt hier, dass für das Taylor-Plynom nicht direkt eine Funktion $f(x)$ vorgelegt worden ist, sondern [mm] $f(\bruch{1}{x})$, [/mm] nämlich
[mm] $\ln (\bruch{1}{x})$ [/mm]

Wenn man also $ln [mm] (\bruch{9}{10})$ [/mm] anzunähern hat, dann bedeutet dies eben, dass nicht $x$ den Wert [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] annimmt, sondern [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] tut dieses.

Man hätte stattdessen übrigens auch einfach so argumentieren können:

[mm] $\ln (\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] -\ln [/mm] (x)$

Dann hättest du ganz einfach [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] einsetzen dürfen, das Resultat hätte aber noch negiert werden müssen (womit auch die dir aufgefallene Aehnlichkeit der Resultate erklärt wäre). Das funktioniert aber nur für Funktionen, bei denen gilt: [mm] $f(\bruch{1}{x}) [/mm] = -f(x)$, wie das beim Logarithmus der Fall ist.

Ist jetzt alles klar?

Mit lieben Grüssen

Bezug
                                
Bezug
Taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Mi 01.09.2004
Autor: komul

Danke, freu mich auch euch gefunden zu haben :-)

Ja, jetzt habe ich es verstanden. Danke für deine Hilfe!

Gruß Christian

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]