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Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Mi 01.09.2004
Autor: komul

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.     :-)


Taach,

Ich habe folgende Funktion:

f: (0; [mm] \infty) [/mm] ->  [mm] \IR [/mm] mit f(x)= ln  [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

um x=1

Gesucht ist das Taylorpolynom vom Grade 2 und die Näherung von ln(0,9)

Als Taylorpolynom vom Grade 2 habe ich:

-(x-1)+0,5(x-1)²

dies Entspricht der Musterlösung.

Die Lösung der Berechnung der Näherung ist laut Musterlösung =(-0,105)

Ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte wie man darauf kommt...

Gruß Christian  


        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 01.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Christian

aus der Fragestellung schliesse ich, dass lediglich der errechnete Näherungswert nicht klar ist.

>
> f: (0; [mm]\infty)[/mm] ->  [mm]\IR[/mm] mit f(x)= ln  [mm]\bruch{1}{x} [/mm]

>  
> um x=1
>  
> Gesucht ist das Taylorpolynom vom Grade 2 und die Näherung
> von ln(0,9)
>  
> Als Taylorpolynom vom Grade 2 habe ich:
>  
> -(x-1)+0,5(x-1)²
>
> dies Entspricht der Musterlösung.
>
> Die Lösung der Berechnung der Näherung ist laut
> Musterlösung =(-0,105)
>  
> Ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte
> wie man darauf kommt...
>  

Nun, wenn die Näherungsformel für [mm] $ln{\bruch{1}{x}}$ [/mm] bekannt ist, dann muss doch als erstes nur herausgefunden werden, welcher Wert für x denn einzusetzen ist, damit
[mm] $\bruch{1}{x}= [/mm] 0.9$
ist.

Mit $0.9 = [mm] \bruch{9}{10}$ [/mm] erhalte ich:

[mm] $\bruch{1}{x}=\bruch{9}{10}$ [/mm]

Also:$ [mm] x=\bruch{10}{9}$ [/mm]

Somit ist [mm] $x-1=\bruch{1}{9}$ [/mm]

Dies in der Näherungsformel eingesetzt:

[mm] $-\bruch{1}{9}+\bruch{1}{2*81}=-\bruch{17}{162}$ [/mm]

Nach meinem Taschenrechner ist das etwa der von dir angegebene Wert:

$-0.104938...$

Mit lieben Grüssen



Bezug
                
Bezug
Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 01.09.2004
Autor: komul

Danke, ich verstehe was du gemacht hast. Ich habe aber noch ein kleines Problem. Die meisten mir vorliegenden Aufgaben sehen in etwa so aus:


Von einer Funktion f:  [mm] \IR+ [/mm] ->  [mm] \IR [/mm] sei bekannt:
f(2)=0
f´(x)=  [mm] \bruch{8}{x} [/mm] exp[2- [mm] \bruch{x²}{2}] [/mm]

a) das Taylorpolynom des Grade 2 um x=2 ist hier

4*(x-2)-5*(x-2)²

b) Berechnen sie die Näherung von f(2,2)

da muss ich dann nur noch die 2,2 in das Taylorpolynom einsetzten und voila, ich habe meine Näherung(=0,6).
Warum funktioniert das in der ersten Aufgabe nicht so? Einfach 0,9 einsetzen führt zu dem Ergebnis 0,105 und ist zwar irgendwie sehr ähnlich aber dennoch nicht dasselbe wie -0,105.

Noch mal Danke für die schnelle Antwort

Christian




Bezug
                        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mi 01.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Christian

entschuldige, ich habe in meiner 1. Antwort ganz übersehen, dass du neu bist hier im Matheraum und dich gar nicht richtig begrüsst. Das sei nun nachgeholt:

[willkommenmr]

> Danke, ich verstehe was du gemacht hast. Ich habe aber noch

Das freut mich! :-)

> ein kleines Problem. Die meisten mir vorliegenden Aufgaben
> sehen in etwa so aus:
>  
>
> Von einer Funktion f:  [mm]\IR+[/mm] ->  [mm]\IR[/mm] sei bekannt:

>  f(2)=0
>  f´(x)=  [mm]\bruch{8}{x}[/mm] exp[2- [mm]\bruch{x²}{2}] [/mm]
>  
> a) das Taylorpolynom des Grade 2 um x=2 ist hier
>
>
> 4*(x-2)-5*(x-2)²
>  
> b) Berechnen sie die Näherung von f(2,2)
>  
> da muss ich dann nur noch die 2,2 in das Taylorpolynom
> einsetzten und voila, ich habe meine Näherung(=0,6).

[ok] Ja, das ist alles korrekt.

>  Warum funktioniert das in der ersten Aufgabe nicht so?
> Einfach 0,9 einsetzen führt zu dem Ergebnis 0,105 und ist
> zwar irgendwie sehr ähnlich aber dennoch nicht dasselbe wie
> -0,105.
>

Der Unterschied liegt hier, dass für das Taylor-Plynom nicht direkt eine Funktion $f(x)$ vorgelegt worden ist, sondern [mm] $f(\bruch{1}{x})$, [/mm] nämlich
[mm] $\ln (\bruch{1}{x})$ [/mm]

Wenn man also $ln [mm] (\bruch{9}{10})$ [/mm] anzunähern hat, dann bedeutet dies eben, dass nicht $x$ den Wert [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] annimmt, sondern [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] tut dieses.

Man hätte stattdessen übrigens auch einfach so argumentieren können:

[mm] $\ln (\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] -\ln [/mm] (x)$

Dann hättest du ganz einfach [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] einsetzen dürfen, das Resultat hätte aber noch negiert werden müssen (womit auch die dir aufgefallene Aehnlichkeit der Resultate erklärt wäre). Das funktioniert aber nur für Funktionen, bei denen gilt: [mm] $f(\bruch{1}{x}) [/mm] = -f(x)$, wie das beim Logarithmus der Fall ist.

Ist jetzt alles klar?

Mit lieben Grüssen

Bezug
                                
Bezug
Taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Mi 01.09.2004
Autor: komul

Danke, freu mich auch euch gefunden zu haben :-)

Ja, jetzt habe ich es verstanden. Danke für deine Hilfe!

Gruß Christian

Bezug
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