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Taylor Reihe: Bildungsgesetz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Fr 05.02.2016
Autor: sonic5000

Hallo,
die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] soll um die Stelle [mm] x_0=1 [/mm] in  eine Taylor-Reihe entwickelt werden.

Die Funktionswerte der ersten  Ableitungen sind:

[mm] 1,\br{1}{2},-\br{1}{4},\br{3}{8},-\br{15}{16},\br{105}{32} [/mm]

So komme ich auf folgendes:

[mm] f(x)=1+\br{1}{2}(x-1)^1-\br{1}{8}(x-1)^2+\br{1}{16}(x-1)^3-\br{5}{128}*(x-1)^4+\br{7}{256}*(x-1)^5 [/mm]

Nun muss noch der KonvergenzRadius berechnet werden. Nach folgender Formel:

[mm] \limes_{n\to\infty}|\br{a_n}{a_{n+1}}|=r [/mm]

Um diese Formel anzuwenden brauche ich das Bildungsgesetz:

Mein Vorschlag:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\br{1}{2^n*n!}(x-1)^n [/mm]

Ist nicht ganz richtig... Zwei Fragen:

Wie kann ich +,+,-,+,-,+ darstellen? Und wie bringe ich die beiden Glieder [mm] \br{5}{128} [/mm] und [mm] \br{7}{256} [/mm] der Reihe unter?

        
Bezug
Taylor Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Fr 05.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wieso berechnest du die Funktionswerte der ersten Ableitung direkt, ohne dir eine Bildungsvorschrift dafür zu erarbeiten? Diese brauchst du ja grundsätzlich bei der Taylor-Reihe.

Also daher die Frage an dich: Was ist die Bildungsvorschrift für die n-te Ableitung von [mm] $\sqrt{x}$, [/mm] d.h. für [mm] $f^{(n)}(x)$. [/mm]

Du hast ja schon gut angefangen, du solltest das nur konsequent zu Ende denken.

Gruß,
Gono

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Bezug
Taylor Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Fr 05.02.2016
Autor: sonic5000

O.K. Die Taylorsche Formel lautet ja:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n [/mm]

Wenn ich nun [mm] x_0 [/mm] einsetze komme ich auf:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n [/mm]

Weiter kann ich Dir leider nicht folgen... Hast Du noch einen Tipp?

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Bezug
Taylor Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Fr 05.02.2016
Autor: fred97


> O.K. Die Taylorsche Formel lautet ja:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n[/mm]
>  
> Wenn ich nun [mm]x_0[/mm] einsetze komme ich auf:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n[/mm]
>  
> Weiter kann ich Dir leider nicht folgen... Hast Du noch
> einen Tipp?  

Ich denke, meine Vorredner meinte:

Berechne mal allgemein [mm] f^{(n)}(x). [/mm] Vielleicht erkennst Du ein Bildungsgesetz.

Dann berechne [mm] f^{(n)}(1) [/mm]  und dann [mm] \frac{ f^{(n)}(1)}{n!} [/mm]

FRED


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Bezug
Taylor Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:15 Sa 06.02.2016
Autor: sonic5000

Frage hat sich erledigt...
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