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Hallo,
die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] soll um die Stelle [mm] x_0=1 [/mm] in eine Taylor-Reihe entwickelt werden.
Die Funktionswerte der ersten Ableitungen sind:
[mm] 1,\br{1}{2},-\br{1}{4},\br{3}{8},-\br{15}{16},\br{105}{32}
[/mm]
So komme ich auf folgendes:
[mm] f(x)=1+\br{1}{2}(x-1)^1-\br{1}{8}(x-1)^2+\br{1}{16}(x-1)^3-\br{5}{128}*(x-1)^4+\br{7}{256}*(x-1)^5
[/mm]
Nun muss noch der KonvergenzRadius berechnet werden. Nach folgender Formel:
[mm] \limes_{n\to\infty}|\br{a_n}{a_{n+1}}|=r
[/mm]
Um diese Formel anzuwenden brauche ich das Bildungsgesetz:
Mein Vorschlag:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\br{1}{2^n*n!}(x-1)^n
[/mm]
Ist nicht ganz richtig... Zwei Fragen:
Wie kann ich +,+,-,+,-,+ darstellen? Und wie bringe ich die beiden Glieder [mm] \br{5}{128} [/mm] und [mm] \br{7}{256} [/mm] der Reihe unter?
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Hiho,
wieso berechnest du die Funktionswerte der ersten Ableitung direkt, ohne dir eine Bildungsvorschrift dafür zu erarbeiten? Diese brauchst du ja grundsätzlich bei der Taylor-Reihe.
Also daher die Frage an dich: Was ist die Bildungsvorschrift für die n-te Ableitung von [mm] $\sqrt{x}$, [/mm] d.h. für [mm] $f^{(n)}(x)$.
[/mm]
Du hast ja schon gut angefangen, du solltest das nur konsequent zu Ende denken.
Gruß,
Gono
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O.K. Die Taylorsche Formel lautet ja:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
[/mm]
Wenn ich nun [mm] x_0 [/mm] einsetze komme ich auf:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n
[/mm]
Weiter kann ich Dir leider nicht folgen... Hast Du noch einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 05.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> O.K. Die Taylorsche Formel lautet ja:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n[/mm]
>
> Wenn ich nun [mm]x_0[/mm] einsetze komme ich auf:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\br{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n[/mm]
>
> Weiter kann ich Dir leider nicht folgen... Hast Du noch
> einen Tipp?
Ich denke, meine Vorredner meinte:
Berechne mal allgemein [mm] f^{(n)}(x). [/mm] Vielleicht erkennst Du ein Bildungsgesetz.
Dann berechne [mm] f^{(n)}(1) [/mm] und dann [mm] \frac{ f^{(n)}(1)}{n!}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Sa 06.02.2016 | | Autor: | sonic5000 |
Frage hat sich erledigt...
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