Taylor / Restglied Lagrange < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne die Taylorreihe der Funktion cos : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] \pi [/mm] und zeige mit der Lagrangeschen Form des Restgliedes, dass diese auf ganz [mm] \IR [/mm] gegen die Funktion konvergiert. |
Hallo.
Ich habe die Taylorreihe für den Cosinus aufgestellt, hätte da
> [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\bruch{cos^{(2k)}(\pi)}{2k!}(x-\pi)^{2k} [/mm] + > [mm] R_{2n+2}(x)
[/mm]
EDIT:
Das war ja quatsch.
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\bruch{cos(\pi)}{2k!}(x-\pi)^{2k} [/mm] + [mm] R_{2n+2}(x)
[/mm]
Da ja alle ungeraden Ableitungen +/- sin ergeben und der ist für [mm] \pi [/mm] = 0
Für das Restglied nach Lagrange habe ich
[mm] R_{2n+2}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\bruch{cos^(\xi)}{(2n+2)!}(x-\pi)^{2n+2}
[/mm]
Ist es soweit OK?
Nun zu der eigentlichen Aufgabe, was muss ich noch zeigen? Das Restglied ist ja sogesehen das selbe, als hätte ich die Reihe bis n+1 fortgesetzt wenn ich [mm] \xi [/mm] = [mm] \pi [/mm] setze.
Soll ich mit Induktion über n zeigen, das dieses Restglied für alle
n so aussieht? Oder ist was anderes gemeint.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo helicopter,
Du sollst wohl [mm] $R_{2n+2} (x)\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] zeigen.
Gruß,
Wolfgang
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