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Hallo zusammen
ich habe ein Problem mit mehrdimensionalen Taylor-Entwicklungen:
Und zwar ist: [mm] u_{i+1,j+1}=u+u_{x}\Delta x+u_{y}\Delta y+u_{xy}\Delta x\Delta y+u_{xx}\Delta x^2/2+u_{yy}\Delta y^2/2+u_{xxy}\Delta x^2\Delta y/2+u_{xyy}\Delta x\Delta y^2/2+u_{xxx}\Delta x^3/6+u_{yyy}\Delta y^3/6+...
[/mm]
Meine 1. Frage: Was ist wenn ich [mm] u_{i+1,j-1}, u_{i-1,j-1} [/mm] oder [mm] u_{i-1,j+1} [/mm] bestimmen will? Woher weiß ich, wie sich die Vorzeichen ändern?
bei i+1 ist [mm] \Delta [/mm] x positiv, bei i-1 ist [mm] \Delta [/mm] y negativ und dann entsprechend der Exponenten die Vorzeichen ändern?
z.B.: (von mir aufgestellt)
[mm] u_{i-1,j+1}=u [/mm] - [mm] u_{x}\Delta x+u_{y}\Deltay [/mm] - [mm] u_{xy}\Delta x\Delta y+u_{xx}\Delta x^2/2+u_{yy}\Delta y^2/2+u_{xxy}\Delta x^2\Delta [/mm] y/2 - [mm] u_{xyy}\Delta x\Delta y^2/2 [/mm] - [mm] u_{xxx}\Delta x^3/6+u_{yyy}\Delta y^3/6+...
[/mm]
Stimmt das?
2. Frage:
Wie ergibt sich [mm] u_{i,j+1}, u_{i-1,j} [/mm] oder Ähnliches, wenn sich nur i ODER j ändert?
Ich würde z.B. sagen für [mm] u_{i,j+1} [/mm] ist [mm] \Delta [/mm] x=0 oder für [mm] u_{i-1,j} [/mm] ist [mm] \Delta [/mm] y=0
Mit anderen Worten: entspricht das nicht der ganz normalen 1D-Taylor-Entwicklung?
Laut Uni-Musterlösungen jedenfalls nicht...
DANKE für jede Hilfe :)
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hi also erstmal das delta zeichen steht entweder für [mm] (x-x_0) [/mm] oder [mm] (y-y_0)
[/mm]
d.h. du setzt ja z.B. i+1 = x und j-1 = y.
Meiner Meinung nach kommt dann für
$ [mm] u_{i+1,j-1}=u+u_{i+1}(i+1-x_{0})+u_{j-1}(j-1+u_{(i+1)(j-1)}(i+1)(j-1)+u_{(i+1)(i+1)}(i+1-x_{0})^2/2+u_{(j-1)(j-1)}(j-1-y_{0})^2/2+u_{(i+1)(i+1)(j-1)}(i+1-x_{0})^2(j-1-y_{0})/2+u_{(i+1)(j-1)(j-1)}((i+1-x_{0})(j-1-y_{0}))^2/2+u_{(i+1)(i+1)(i+1)}(i+1-x_{0})^3/6+u_{(j-1)(j-1)(j-1)}(j-1-y_{0})^3/6+... [/mm] $
raus
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Rechts vom Gleichheitszeichen bezieht sich alles auf den Punkt i,j...
Die Lösung hilft mir leider nicht weiter...
Alles was sich ändern sollte sind die Vorzeichen derLödukg die ich angegeben hatte...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 18.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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$ [mm] u_{i+1,j-1}=u+u_{i+1}(i+1-x_{0})+u_{j-1}(j-1-y_{0}+u_{(i+1)(j-1)}(i+1)(j-1)+u_{(i+1)(i+1)}(i+1-x_{0})^2/2+u_{(j-1)(j-1)}(j-1-y_{0})^2/2+u_{(i+1)(i+1)(j-1)}(i+1-x_{0})^2(j-1-y_{0})/2+u_{(i+1)(j-1)(j-1)}((i+1-x_{0})(j-1-y_{0}))^2/2+u_{(i+1)(i+1)(i+1)}(i+1-x_{0})^3/6+u_{(j-1)(j-1)(j-1)}(j-1-y_{0})^3/6+... [/mm] $
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$ [mm] u_{i+1,j-1}=u+u_{i+1}(i+1-x_{0})+u_{j-1}(j-1-y_{0})+u_{(i+1)(j-1)}(i+1)(j-1)+u_{(i+1)(i+1)}(i+1-x_{0})^2/2+u_{(j-1)(j-1)}(j-1-y_{0})^2/2+u_{(i+1)(i+1)(j-1)}(i+1-x_{0})^2(j-1-y_{0})/2+u_{(i+1)(j-1)(j-1)}((i+1-x_{0})(j-1-y_{0}))^2/2+u_{(i+1)(i+1)(i+1)}(i+1-x_{0})^3/6+u_{(j-1)(j-1)(j-1)}(j-1-y_{0})^3/6+... [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:31 Do 16.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> ich habe ein Problem mit mehrdimensionalen
> Taylor-Entwicklungen:
> Und zwar ist: [mm]u_{i+1,j+1}=u+u_{x}\Delta x+u_{y}\Delta y+u_{xy}\Delta x\Delta y+u_{xx}\Delta x^2/2+u_{yy}\Delta y^2/2+u_{xxy}\Delta x^2\Delta y/2+u_{xyy}\Delta x\Delta y^2/2+u_{xxx}\Delta x^3/6+u_{yyy}\Delta y^3/6+...[/mm]
Mein Vorredner mag das vielleicht verstehen, ich jedoch überhaupt nicht !
1. Frage: was bedeuten ganz rechts die Pünktchen ? Steht da eine Taylorreihe ?
2. Frage: Oder steht rechts Taylorpolynom + Restglied ? Wenn ja , so ist nichts zu erkennen.
3. Frage: was in aller Welt bedeutet [mm] u_{i+1,j+1} [/mm] ??? Wenn in einer Gleichung links i und j vorkommen, so sollten i und j auch rechts vorkommen ...
4. Frage: haben [mm] \Delta [/mm] x und [mm] \Delta [/mm] y etwas mit i und j zu tun ? Wenn ja, was ?
FRED
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> Meine 1. Frage: Was ist wenn ich [mm]u_{i+1,j-1}, u_{i-1,j-1}[/mm]
> oder [mm]u_{i-1,j+1}[/mm] bestimmen will? Woher weiß ich, wie sich
> die Vorzeichen ändern?
> bei i+1 ist [mm]\Delta[/mm] x positiv, bei i-1 ist [mm]\Delta[/mm] y negativ
> und dann entsprechend der Exponenten die Vorzeichen
> ändern?
> z.B.: (von mir aufgestellt)
> [mm]u_{i-1,j+1}=u[/mm] - [mm]u_{x}\Delta x+u_{y}\Deltay[/mm] - [mm]u_{xy}\Delta x\Delta y+u_{xx}\Delta x^2/2+u_{yy}\Delta y^2/2+u_{xxy}\Delta x^2\Delta[/mm]
> y/2 - [mm]u_{xyy}\Delta x\Delta y^2/2[/mm] - [mm]u_{xxx}\Delta x^3/6+u_{yyy}\Delta y^3/6+...[/mm]
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> Stimmt das?
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> 2. Frage:
> Wie ergibt sich [mm]u_{i,j+1}, u_{i-1,j}[/mm] oder Ähnliches, wenn
> sich nur i ODER j ändert?
> Ich würde z.B. sagen für [mm]u_{i,j+1}[/mm] ist [mm]\Delta[/mm] x=0 oder
> für [mm]u_{i-1,j}[/mm] ist [mm]\Delta[/mm] y=0
> Mit anderen Worten: entspricht das nicht der ganz normalen
> 1D-Taylor-Entwicklung?
> Laut Uni-Musterlösungen jedenfalls nicht...
>
> DANKE für jede Hilfe :)
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Zu 1. und 2.)
Verstehe den Unterschied nicht... Das ist eine Taylorentwicklung... Also ein Polynom... Rechts ist der Abbruchfehler...
Zu 3.) Mathematisch ungenau! Hast recht! Rechts vom Gleichheitszeichen bezieht sich alles auf den Punkt i,j
4.) Die Abstände zwischen i-1, i, i+1 sind [mm] \Delta [/mm] x
Die Abstände zwischen j-1, j, j+1 sind [mm] \Delta [/mm] y
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 18.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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