Taylorentwicklung-Näherung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Sa 28.05.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Berechnen Sie ausgehend von [mm] \wurzel[3]{64}=4 [/mm] mit Hilfe der Taylor-Entwicklung einen Näherungswert für [mm] \wurzel[3]{65} [/mm] derart,
dass der relative Fehler kleiner als [mm] 10^{-3} [/mm] ist. |
Ich brauche ein wenig Unterstützung beim Verständniss dieser Aufgabe.
Ich weiß, wie man ein Taylorpolinom entwickelt. Und ich gehe davon aus, dass der Fehler von [mm] \wurzel[3]{64}=4 [/mm] gleich Null beträgt und dass dieser ausdruck größer als [mm] \wurzel[3]{65} [/mm] ist.
Dann kann ich ja [mm] \wurzel[3]{65} [/mm] einmal entwickeln und schauen, ob der entstandene Fehler (Restglied) größer ist, als [mm] 10^{-3}.
[/mm]
Ist es soweit vom Gedankengang richtg?
Jetzt entwickele ich einmal das [mm] \wurzel[3]{65}
[/mm]
f(x) = [mm] x^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^{\bruch{-2}{3}}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{-2}{9}x^{\bruch{-5}{3}}
[/mm]
Taylorpolinom
f(x) = [mm] T_{m}(x_{0}-x) [/mm] + [mm] R_{m+1}(x_{0}-x)
[/mm]
Teste: m=1 und betrachte das Restglied:
[mm] R_{m+1}(x_{0}-x) [/mm] = [mm] \bruch{f''(\varepsilon)}{2!}(65-64)^{2} [/mm] , [mm] \varepsilon \in [/mm] (64,65)
[mm] =\bruch{1}{9}\varepsilon^{\bruch{-5}{3}}
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen, dass der resultierende Fehler bei m=1 < [mm] 10^{-3} [/mm] ist.
[mm] \bruch{1}{9}\varepsilon^{\bruch{-5}{3}} [/mm] < [mm] 10^{-3}
[/mm]
Wie mache ich denn weiter?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Jetzt muss ich zeigen, dass der resultierende Fehler bei
> m=1 < [mm]10^{-3}[/mm] ist.
>
> [mm]\bruch{1}{9}\varepsilon^{\bruch{-5}{3}}[/mm] < [mm]10^{-3}[/mm]
>
> Wie mache ich denn weiter?
Überlege Dir wie die Funktion
[mm] x^{-\bruch{5}{3}} [/mm] im Bereich [64, 65] verläuft und schätze den Term durch den maximal Wert ab. Hinweis: monoton fallend oder monoton steigend.
Je nachdem ob der obere Wert kleiner oder größer als [mm] 10^{-3} [/mm] ist bist Du schon fertig oder musst noch den nächsten Term der Taylorreihe mit nehmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 28.05.2011 | | Autor: | zoj |
[mm] x^{-\bruch{5}{3}} [/mm] ist im Bereich [64, 65] monoton fallend,
da bei einem konstanten Zähler, der Nenner immer größer wird.
Kann ich dann so abschätzen?
$ [mm] \bruch{1}{9}\varepsilon^{\bruch{-5}{3}} [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \bruch{1}{9}64^{\bruch{-5}{3}} [/mm] $
Nun muss ich zeigen, dass
$ [mm] \bruch{1}{9}64^{\bruch{-5}{3}} [/mm] $ < [mm] 10^{-3} [/mm] ist.
Laut Taschnerechner stimmt die Aussage.
Ist es soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja soweit ok. Damit wird der Betrag des Restgliedes nach oben abgeschätzt. Einzig in Deinem ersten Post hast Du beim Restglied ein Minuszeichen verloren, was dann bei der Abschätzung des Betrages wieder keine Rolle mehr spielt.
[mm] R_{m+1}(x_{0}-x)=\bruch{f''(\varepsilon)}{2!}(65-64)^{2}=-\bruch{1}{9}\varepsilon^{\bruch{-5}{3}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 28.05.2011 | | Autor: | zoj |
Habe noch eine Verständnisfrage:
Bei dieser Aufgabe sollte man die dritte Wurzel aus 65 mit einer Fehlertoleranz von [mm] 10^{-3} [/mm] bestimmen.
Als Entwicklungsstelle haben wir die 64 genommen, da wir wissen, dass die dritte Wurzel aus 64 gleich 4 ist.
Mir ist aber nicht ganz klar wie es überhaupt möglich ist, dass man dritte Wurzel aus 65 mit Hilfe der dritten Wurzel aus 64 berechnen kann.
Irgendwie verstehe ich das Prinzip, dass dahinter steck nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du betrachtest die Kurve [mm] f(x)=\wurzel[3]{x} [/mm] an der Stelle x=64 und die erste Ableitung dieser Kurve an der Stelle x=64. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Kurve an der betrachteten Stelle. Um eine Näherung für [mm] \wurzel[3]{65} [/mm] zu bekommen, gehst Du vom bekannten Wert [mm] \wurzel[3]{64} [/mm] aus und legst eine Gerade durch den Punkt [mm] \left( 64 | \wurzel[3]{64} \right) [/mm] mit der Steigung f'(64) und gehst auf dieser Geraden bis x=65 weiter und liest dann den Funktionswert ab. Das ist das, was Du mit der Taylorreihe 1'-ter Ordnung gemacht hast. Damit bekommst Du eine Näherung für [mm] \wurzel[3]{65}.
[/mm]
Sollte die Näherung nicht genau genug sein kannst Du noch die zweite oder höhere Ableitungen benutzten. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Kurve im betrachteten Punkt. Das würde bedeuten, Du legst eine Parabel mit Krümmung f''(64) durch den Punkt [mm] \left( 64 | \wurzel[3]{64}\right) [/mm] und gehst auf dieser Kurve bis x=65 weiter. Die Näherung wird normalerweise besser, weil jetzt außer der Steigung auch noch die Krümmung berücksichtigt ist.
Das ist das Prinzip, das Du bei der Taylorreihe anwendest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 28.05.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Erläuterung!!! Das Prinzip habe ich jetzt verstanden.
Was mir noch nicht ganz klar ist, ist die Abschätzung.
Mal angenommen ich will einen Näherungswert von [mm] \wurzel[3]{66} [/mm] mit Hilfe von [mm] \wurzel[3]{64}=4 [/mm] berechnen, sodass der Fehler kleiner als [mm] 10^{-3} [/mm] ist.
Also die selbe Aufgabe, nur will ich jetzt die dritte Wurzel aus 66 berechnen.
Für m=1 ergibt es: [mm] R_{m+1} [/mm] = [mm] \bruch{f''(\varepsilon)}{2!}(66-64)^{2}
[/mm]
Nun muss ich wieder abschätzen.
Die Funktion ist monotin fallend, somit ist
[mm] \bruch{-1}{9}(\varepsilon)^{\bruch{-5}{3}} \le \bruch{-1}{9}(64)^{\bruch{-5}{3}} [/mm] für [mm] \varepsilon \in [/mm] (64,66)
[mm] \bruch{-1}{9}(64)^{\bruch{-5}{3}} [/mm] < [mm] 10^{-3}
[/mm]
An der Stelle verstehe ich was nicht:
Ich kann somit jede Funktion [mm] \wurzel{z} [/mm] für z>=64 mit nur einer Entwicklung abschätzen, da [mm] \bruch{-1}{9}(64)^{\bruch{-5}{3}} [/mm] < [mm] 10^{-3} [/mm] immer gültig bleibt, weil ich für die Abschätzung immer das kleinste Element wähle und dieser ist ja 64.
Das heißt meine Abschätzung ist falsch oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
je weiter weg der Funktionswert vom Startwert ist, desto ungenauer wird die Näherung. In dem Beispiel ist z.B. die Kurve [mm] \wurzel[x]{3} [/mm] ja nach unten gekrümmt. D.h. aber, die Gerade im Punkt x=64 approximiert die Kurve immer schlechter, da sie ja noch oben zeigt, und zwar je weiter Du Dich vom Startwert entfernst. Es kann aber sein, das für x=66 die Näherung immer noch gut genug ist. Probier es aber mal mit größeren x-Werten, dann wirst Du sehen, das es einen Wert [mm] x_0 [/mm] gibt, ab dem das nicht mehr stimmt.
Das Prinzip gilt ja für einen beliebigen Startwert, probier es auchmal für z.B. x=8. In diesem Bereich ist die Krümmung stärker und die Näherung ist schneller ungeültig als ab dem Bereich x=64. Evtl. reicht bei x=8 schon nicht mehr nur die 1'te Ableitung um [mm] \wurzel[10]{3} [/mm] bis auf [mm] 10^{-3} [/mm] genau zu berechnen, das solltest Du mal ausprobieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 28.05.2011 | | Autor: | zoj |
So dieses Beispiel sollte eigentlich alles klären.
Nun berechne ich einen Näherungswert für [mm] \wurzel[3]{8} [/mm] ausgehend von [mm] \wurzel[3]{64}
[/mm]
Für m=1: [mm] \bruch{f''(E)}{2!}(8-64)^{2} [/mm] , E [mm] \in [/mm] (8,64)
= [mm] -\bruch{1}{9}E^{-\bruch{5}{3}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{9\wurzel[3]{E^{5}}}
[/mm]
Nun muss ich abschätzen und schauen, ob der relative Fehler kleiner als [mm] 10^{-3} [/mm] ist.
Wie gehe ich nun bei der Fehlerabschätzung vor?
Was damit gemeint ist, weiß ich ja nun. Der gemachte Fehler sollte eigentlich ganz groß sein. Weil die Tangente im Punkt x=64 eine völlig andere Steigung hat, als die Tangente im Punkt x=3.
Könntest du mir erklären, wie man der Fehlerabschätzung vorgeht?
Ich weiß zwar, dass
[mm] -\bruch{1}{9\wurzel[3]{E^{5}}} \le \wurzel[3]{64}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> So dieses Beispiel sollte eigentlich alles klären.
>
> Nun berechne ich einen Näherungswert für [mm] \wurzel[3]{8} [/mm]
> ausgehend von [mm] \wurzel[3]{64}
[/mm]
>
> Für m=1: [mm] \bruch{f''(E)}{2!}(8-64)^{2} [/mm] , E [mm] \in [/mm] (8,64)
>
> = [mm] -\bruch{1}{9}E^{-\bruch{5}{3}}=-\bruch{1}{9\wurzel[3]{E^{5}}}
[/mm]
Hier muss es lauten [mm] -\bruch{1}{9}\wurzel[3]{E^{5}}*56^2
[/mm]
Daran siehst Du schon, das die Entfernung vom Startpunkt eine wesentliche Rolle spielt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 28.05.2011 | | Autor: | zoj |
Die Entfernung wirkt sich quadratisch auf den Fehler aus.
Aber wie zeige ich, dass der gemachte Fehler größer ist, als [mm] 10^{-3}?
[/mm]
Habe diese Restglied-Gleichung aufgestellt, die den Fehler bescheibt, den man begeht:
$ [mm] -\bruch{1}{9}\wurzel[3]{E^{5}}\cdot{}56^2 [/mm] $ , E sind die beiden Punkte (8, 64)
Ist dieser Ausdruck für die Fehlerabschätzung korrekt?
$ [mm] -\bruch{1}{9}\wurzel[3]{E^{5}}\cdot{}56^2 [/mm] $ < [mm] 10^{-3}
[/mm]
Für E kan ich dann die beiden Punkte einsetzen und schauen, ob die Gleichung erfüllt wird oder nicht.
Kann ich somit den relativen Fehler abschätzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Sa 28.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ist dieser Ausdruck für die Fehlerabschätzung korrekt?
> [mm] -\bruch{1}{9}\wurzel[3]{E^{5}}\cdot{}56^2<10^{-3}
[/mm]
Nein, da muss stehen [mm] -\bruch{1}{9}\bruch{1}{\wurzel[3]{E^{5}}}\cdot{}56^2
[/mm]
und für E gilt [mm] E\in(8,64) [/mm] also muss [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{E^{5}}} [/mm] abgeschätzt werden für den zulässigen Bereich von E.
Ic habe mal eine Grafik beigeleget zur Veranschaulichung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht, das die Näherung an der Stelle x=65 sehr gut ist, aber an der Stelle x=8 ist die Abweichung zwischen Gerade und tatsächlicher Kurve sehr groß.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mo 06.06.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Hilfe!
|
|
|
|
