Taylorentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:50 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Bestimme die Taylorentwicklung für [mm] f(x)=exp(\bruch{-x²}{2}) [/mm] um [mm] x_0=0
[/mm]
Für welche x ist diese Reihe konvergent ? Begründe deine Antwort. |
wie genau geht man bei dieser aufgabe vor?
eigneltich leitet man doch hier immer die funktion ab.
Was ist hier aber mir "um [mm] x_0 [/mm] =0 " gemeint?
hat jm einen tipp?
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Hallo Kreide!
> Bestimme die Taylorentwicklung für [mm]f(x)=exp(\bruch{-x²}{2})[/mm]
> um [mm]x_0=0[/mm]
> Für welche x ist diese Reihe konvergent ? Begründe deine
> Antwort.
> wie genau geht man bei dieser aufgabe vor?
>
> eigneltich leitet man doch hier immer die funktion ab.
>
> Was ist hier aber mir "um [mm]x_0[/mm] =0 " gemeint?
>
> hat jm einen tipp?
In deiner Definition einer Taylorreihe sollte irgendwo ein Entwicklungspunkt a oder so (manchmal auch [mm] x_0 [/mm] genannt) vorkommen. Dieser ist hier =0, d.h. überall, wo das a steht, schreibst du dann 0 hin, das sollte das ganze etwas kürzer machen. Hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{oo}\bruch{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}
[/mm]
[mm] a=x_0=0
[/mm]
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{oo}\bruch{f^{n}(0)}{n!}(x)^{n}
[/mm]
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{oo}\bruch{[exp(\bruch{-x²}{2})]^{n}(0)}{n!}(x-a)^{n}
[/mm]
wäre damit der erste teil der aufgabe beantwortet?
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Hallo Kreide!
Du musst nun noch zumindest die ersten Werte der Ableitungen [mm] $f^{(n)}(0)$ [/mm] ermitteln und versuchen, daraus eine Gesetzmäßigkeit zu erkennen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Kreide |
[mm] f'(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(-x)
[/mm]
[mm] f''(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(-1)+(-x)exp(\bruch{-x²}{2})*(-x)
[/mm]
[mm] =-exp(\bruch{-x²}{2})+x²exp(\bruch{-x²}{2})
[/mm]
[mm] =exp(\bruch{-x²}{2})*(-1+x²)
[/mm]
[mm] f''(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(2x)+(-1+x²)exp(\bruch{-x²}{2})(-x)
[/mm]
[mm] =exp(\bruch{-x²}{2})*(2x)+(x-x^3)exp(\bruch{-x²}{2})
[/mm]
[mm] =exp(\bruch{-x²}{2})*(-x^3+2x-x)
[/mm]
[mm] f(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(-x) [/mm] * [mm] \bruch{x}{1!} [/mm] + [mm] exp(\bruch{-x²}{2})*(-1+x²)* \bruch{x²}{2!}+ exp(\bruch{-x²}{2})*(-x^3+2x-x)*\bruch{x^3}{3!}+...
[/mm]
ist das jetzt richtig?
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Hallo Kreide!
In die Ableitungen musst Du nun noch jeweils den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> [mm]f'(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(-x)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(-1)+(-x)exp(\bruch{-x²}{2})*(-x)[/mm]
> [mm]=-exp(\bruch{-x²}{2})+x²exp(\bruch{-x²}{2})[/mm]
> [mm]=exp(\bruch{-x²}{2})*(-1+x²)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(2x)+(-1+x²)exp(\bruch{-x²}{2})(-x)[/mm]
> [mm]=exp(\bruch{-x²}{2})*(2x)+(x-x^3)exp(\bruch{-x²}{2})[/mm]
> [mm]=exp(\bruch{-x²}{2})*(-x^3+2x-x)[/mm]
>
Das ist doch nicht richtig....
[mm]f(x)=exp(\bruch{-x²}{2})*(-x)[/mm] * [mm]\bruch{x}{1!}[/mm] + [mm]exp(\bruch{-x²}{2})*(-1+x²)* \bruch{x²}{2!}+ exp(\bruch{-x²}{2})*(-x^3+2x-x)*\bruch{x^3}{3!}+...[/mm]
Dort hab ich x und [mm] x_0 [/mm] nicht unterschieden
------------------------------------
So hier mach ich es nochmal
[mm] f'(x_0)=0
[/mm]
[mm] f''(x_0)=-1
[/mm]
[mm] f'''(x_0)=0
[/mm]
[mm] f''''(x_0)=3
[/mm]
[mm] f'''''(x_0)=0
[/mm]
Dann setze ich diese Werte in die Taylorreihe ein, mit [mm] \alpha=x_0=0 [/mm] , k= Anzahl der Ableitung, dann komme ich auf
P(x)=x-
[mm]f(x)= [mm] \bruch{0}{1!}(x-0)^1+\bruch{-1}{2!}(x-0)^2+\bruch{0}{3!}(x-0)^3+\bruch{3}{4!}(x-0)^4+\bruch{0}{5!}(x-0)^5
[/mm]
= [mm] x-\bruch{1}{2!}(x)^2+x^3+\bruch{3}{4!}x^4+x^5
[/mm]
Ist das korrekt?
Dann war ja noch die Frage für welche x die Reihe konvergent ist.
Man sieht das alle werte (außer x=0) nicht gehen, da die Werte hinundherspringen.
Bei x=0 werden aber alle summanden = 0 , dass heißt die reihe würde gegen 0 konvergieren
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Hallo!
Zunächst nochwas zu deiner Taylor-reihe. Du hast doch festgestellt, daß einige Ableitungen 0 sind.
Das hast du auch noch korrekt in die Taylor-Formel eingesetzt, doch beim anschließenden Ausrechnen hast du nen Fehler gemacht. 0*x ist doch 0! Demnach taucht der Summand mit dem einzelnen x nicht mehr im Taylor-Polynom auf, genauso, wie alle anderen Summanden mit ungrader Potenz von x. Das kann man übrigens auch so verstehen: Die Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse, das Taylor-Polynom muß dies auch sein, und kann daher nur grade Potenzen von x enthalten.
Gut, ansonsten fehlt dir immernoch die Gesetzmäßigkeit, und da mußt du wohl noch mehr Ableitungen bilden. Denn: Du sollst eine Formel für den Vorfaktor eines jeden [mm] x^n [/mm] angeben, sodaß durch Vorgabe von n dieser Vorfaktor sofort berechnet werden kann.
Es gibt hier aber noch ne andere Methode: Sicher kennst du die Taylor-Reihe von [mm] e^z [/mm] . Wenn z nun auch eine Funktion ist, kannst du für z auch die Taylorbedingung der Funktion einsetzen. Und die Taylor-Entwickling von [mm] -x^2 [/mm] ist ganz einfach [mm] -x^2 [/mm] .
Bei diesem Trick muß man aufpassen, daß der Entwicklungspunkt von z mit den Werten, die diese Funktion ausgibt, übereinstimmt. Sol heißen, du entwickelst um x=0, und dafür liefert die [mm] -x^2 [/mm] auch Werte um 0. Damit paßt das hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Kreide |
dankeschön für deine Hilfe!!! mir ist aber noch nicht alles ganz klar....
[mm] f(x)=exp(\bruch{-x^2}{2}) =\summe_{n=0}^{oo}\bruch{(\bruch{-x^2}{2})^n}{n!}
[/mm]
>
> eingesetzt, doch beim anschließenden Ausrechnen hast du nen
> Fehler gemacht. 0*x ist doch 0!
hast recht!!
Du
> sollst eine Formel für den Vorfaktor eines jeden [mm]x^n[/mm]
> angeben, sodaß durch Vorgabe von n dieser Vorfaktor sofort
> berechnet werden kann.
>
Das verstehe ich nicht ganz, meinst du ich soll das oben so umformen, dass [mm] x^{n} [/mm] seperat da steht?
wie hier:
[mm] \summe_{n=0}^{oo}\bruch{(\bruch{-x^2}{2})^n}{n!}=\summe_{n=0}^{oo}(-x^n)^2\bruch{n!}{2^n}
[/mm]
>
> Es gibt hier aber noch ne andere Methode: Sicher kennst du
> die Taylor-Reihe von [mm]e^z[/mm] . Wenn z nun auch eine Funktion
> ist, kannst du für z auch die Taylorbedingung der Funktion
> einsetzen.
meinst du mit Taylor Bedingung die Taylorformel? also hab ich da die Befürchtung, dass daswie da oben nicht richtig steht kann das sein....?
>Und die Taylor-Entwickling von [mm]-x^2[/mm] ist ganz
> einfach [mm]-x^2[/mm] .
Wie so denn? Ich sehe das nicht ... :(
>
> Bei diesem Trick muß man aufpassen, daß der
> Entwicklungspunkt von z mit den Werten, die diese Funktion
> ausgibt, übereinstimmt. Sol heißen, du entwickelst um x=0,
> und dafür liefert die [mm]-x^2[/mm] auch Werte um 0. Damit paßt das
> hier.
das hab ich noch nicht ganz verstanden, aber ich glaub, dass liegt daran, dass ich das obere noch nicht zu 100% verstanden hab... :( leider
aber dankeschön für deine Hilfe!!!
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Hallo!
ZUnächst: Oben hattest du noch einen ausgeschriebenen Ausdruck, ohne das Summenzeichen. Das ist zwar meistens das, womit man weiterarbeitet, aber generell will man schon sowas mit Summenzeichen, was du in deinem letzen Beitrag geschrieben hast. Das meinte ich.
Dann sehe ich da grade noch was: [mm] (-x^2)^n\neq (-x^n)^2
[/mm]
Denn betrachte n=3: Links hast du dann was negatives, rechts dagegen wird durch das äußere Quadrat alles immer positiv. Besser:
[mm] (-x^2)^n=(-1)^n*x^{2n}
[/mm]
Du siehst auch hier, daß es automatisch nur noch x mit gradem Exponenten gibt! Und in der Tat schreibt man das ganze gerne so, daß der x-Term möglichst alleine da steht, um ihn vom Vorfaktor möglichst abzutrennen. Also, das stimmt so:
[mm] \sum \frac{1}{n!2^n}*(-1)^n*x^{2n}=\sum \frac{1}{n!(-2)^n}*x^{2n}
[/mm]
Warum die Taylorentwicklung von [mm] -x^2 [/mm] gleich [mm] -x^2 [/mm] ist? Rechne:
[mm] f(0)=-x^2=0
[/mm]
f'(0)=-2*x=0
f''(0)=-2
f'''(0)=0
Alle weiteren Ableitungen sind 0. Es bleibt nur [mm] \frac{f''}{2!}x^2=-2x^2 [/mm] übrig. Merke: Die Taylorentwicklung eines Polynoms um x=0 ist immer das Polynom selbst!
Ich hab mal geplottet, was du jetzt raus hast, und das sieht dochgut aus, oder:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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