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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 18.04.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Es sei f: I [mm] \to \IR [/mm] eine konvexe,2-mal stetig differenzierbare Funktion auf einem Intervall I [mm] \subseteq \IR.
[/mm]
Zeigen sie mittels Taylorentwicklung: für jedes a [mm] \in [/mm] I gilt
f(x) [mm] \ge [/mm] f(a) + f`(a)(x-a). |
hallo,
das einzige was ich bei dieser aufgabe weiß ist, dass es 2 ableitungen gibt, da 2-mal stetig differenzierbar ist.
ehrlichgesagt hab ich keine ahnung wie ich da auch nur ansatzweise herangehen kann.
kann mir da einer helfen?
lg sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabrina!
Beachte noch die Eigenschaft "![[]](/images/popup.gif) konvex". Damit weißt Du was über die 2. ableitung $f''(x)_$ ?
Stelle doch mal die entsprechende Taylor-Reihe auf ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 19.04.2008 | | Autor: | skydyke |
also die taylorentwicklung sieht dann so aus:
[mm] T_2(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a)/2)(x-a)^2
[/mm]
da die funktion konvex ist, gilt das f''(x)>0 ist und wenn f'' positiv ist, ist f linksgekrümmt.
nur was kann ich damit anfangen?
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Hallo Sabrina,
nimm doch das Taylorpolynom 1.Ordnung und schaue dir das Restglied (in Lagrangeform) an:
[mm] $f(x)=T_1(x;a)+R_1(x;a)$
[/mm]
Wir können dein (korrektes) Taylorpolynom verwenden und bekommen:
[mm] $T_1(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)$
[/mm]
Das zugehörige Restglied ist [mm] $R_1(x;a)=\frac{1}{2}\cdot{}f''(\xi)(x-a)^2$ [/mm] mit [mm] $\xi\in(x,a)$
[/mm]
Also hast du: [mm] $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\underbrace{\frac{1}{2}f''(\xi)(x-a)^2}_{=R_1(x;a)}$
[/mm]
Und nun die Abschätzung, die aus der Konvexität von $f$ folgt...
Gruß
schachuzipus
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