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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Sa 31.05.2008 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Es sei p ein reelles Polynom 3. Grades und für [mm] a\in \IR [/mm] bezeichne
[mm] f_a:\IR->\IR; f_a(x)=p(a+x)+p(a-x)
[/mm]
(p(a [mm] \pm [/mm] x) sind die Funktionswerte von p an den Stellen a [mm] \pm [/mm] x.)
a) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung des Polynoms [mm] f_a [/mm] im Punkt [mm] x_0=0.
[/mm]
b) Zeigen Sie: Es gibt genau ein a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] f_a(x)=2p(a) \forall [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
c) Leiten Sie mittels b) eine Symmetrieeigenschaft des Graphen von p ab. |
Hallo.
Ich hab schon wieder ein kleines bzw. ein größeres Problem.:-(
Ich schreibe mal die Einträge des Lösungsvorschlags auf und dann frag ich das, was ich dabei nicht kapiere.
a) Für k [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt: [mm] f_a^{(k)}=p^{(k)}(a+x)+(-1)^k p^{(k)}(a-x)
[/mm]
=> [mm] 0=f_a'(0)=f_a'''(0), f_a(0)=2p(a), f_a''(0)=2p''(a)
[/mm]
=> (mit Grad p=3) (T) [mm] f_a(x)=2p(a)+p''(a) x^2
[/mm]
b) Grad p=3 => Grad p''=1 => es gibt genau ein a [mm] \in \IR [/mm] mit p''(a)=0
=> (mit (T)) es gibt genau ein a [mm] \in \IR [/mm] mit p(a+x)+p(a-x)=2p(a)
c) Graph p liegt symmetrisch zum Wendepunkt (a,p(a))
Nun meine Fragen (ich kapier bei dieser Aufgabe leiedr gar nix!):
a) Wo kommt bei der Ableitung das [mm] (-1)^k [/mm] her? Wenn ich das ableiten würde, käme raus: [mm] f_a^{(k)}=p^{(k)}(a+x)+ p^{(k)}(a-x).
[/mm]
Woher weiß ich, dass [mm] 0=f_a'(0)=f_a'''(0) [/mm] und [mm] f_a''(0)=2p''(a)?
[/mm]
Und v.a. wie komme ich dann auf die Taylorentwicklung und woher kommt das [mm] x^2?
[/mm]
b) Die ersten beiden Folgepfeile versteh ich, aber wieso folgt "es gibt genau ein a [mm] \in \IR [/mm] mit p(a+x)+p(a-x)=2p(a)" mit der Taylorreihe?
c) Wie soll ich das mit b) zeigen? Muss ich um Symmetrie zu zeigen nicht einfach in die Funktion (hier in das Polynom) -x statt x einsetzen und dann schauen was rauskommt? Oder überprüfe ich dann nur Symmetrie zum Ursprung?
Sorry für die vielen Fragen, aber ich bin bei Taylorreihen total planlos... Vllt könnt ihr mir ja helfen. Wäre super!
Grüße, Marina
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> Es sei p ein reelles Polynom 3. Grades und für [mm]a\in \IR[/mm]
> bezeichne
> [mm]f_a:\IR->\IR; f_a(x)=p(a+x)+p(a-x)[/mm]
> (p(a [mm]\pm[/mm] x) sind die
> Funktionswerte von p an den Stellen a [mm]\pm[/mm] x.)
> a) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung des Polynoms [mm]f_a[/mm] im
> Punkt [mm]x_0=0.[/mm]
> b) Zeigen Sie: Es gibt genau ein a [mm]\in \IR[/mm] mit
> [mm]f_a(x)=2p(a) \forall[/mm] x [mm]\in \IR.[/mm]
> c) Leiten Sie mittels
> b) eine Symmetrieeigenschaft des Graphen von p ab.
> Hallo.
>
> Ich hab schon wieder ein kleines bzw. ein größeres
> Problem.:-(
> Ich schreibe mal die Einträge des Lösungsvorschlags auf
> und dann frag ich das, was ich dabei nicht kapiere.
> a) Für k [mm]\in \IN_0[/mm] gilt: [mm]f_a^{(k)}=p^{(k)}(a+x)+(-1)^k p^{(k)}(a-x)[/mm]
>
> => [mm]0=f_a'(0)=f_a'''(0), f_a(0)=2p(a), f_a''(0)=2p''(a)[/mm]
>
> => (mit Grad p=3) (T) [mm]f_a(x)=2p(a)+p''(a) x^2[/mm]
> b) Grad
> p=3 => Grad p''=1 => es gibt genau ein a [mm]\in \IR[/mm] mit
> p''(a)=0
> => (mit (T)) es gibt genau ein a [mm]\in \IR[/mm] mit
> p(a+x)+p(a-x)=2p(a)
> c) Graph p liegt symmetrisch zum Wendepunkt (a,p(a))
>
> Nun meine Fragen (ich kapier bei dieser Aufgabe leiedr gar
> nix!):
> a) Wo kommt bei der Ableitung das [mm](-1)^k[/mm] her?
Vom k-fachen Ableiten von $p(a-x)$ nach $x$ gemäss Kettenregel, denn dann muss man jeweils die "äussere Ableitung" mit der "inneren Ableitung" multiplizieren: und die innere Ableitung, d.h. die Ableitung von $a-x$, ist jeweils $-1$. Ich muss allerdings zugeben, dass die Schreibweise missverständlich ist. Mit [mm] $p^{(k)}(a\pm [/mm] x)$ ist offenbar jeweils nur die äussere k-te Ableitung von $p$ mit nachfolgendem Einsetzen von [mm] $a\pm [/mm] x$ gemeint.
> Wenn ich das
> ableiten würde, käme raus: [mm]f_a^{(k)}=p^{(k)}(a+x)+ p^{(k)}(a-x).[/mm]
Siehe oben: man kann sich auf den Standpunkt stellen, dass es sich hier um eine Differenz in der Interpretation der Schreibweise handelt. Für Dich bedeutet [mm] $p^{(k)}(a-x)$ [/mm] vermutlich die k-te Ableitung der Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] p(a-x)$. Aber für denjenigen, der die Musterlösung geschrieben hat, bedeutet [mm] $p^{(k)}(a-x)$ [/mm] offensichtlich die k-te Ableitung von $p(x)$, in die man nach dem Ableiten anstelle von x den Term a-x eingesetzt hat (sog. k-te "äussere Ableitung").
> Woher weiß ich, dass [mm]0=f_a'(0)=f_a'''(0)[/mm] und
> [mm]f_a''(0)=2p''(a)?[/mm]
Aus der angegebenen Form der k-ten Ableitung: dann ist ja [mm] $f^{(k)}(0)=p^{(k)}(a-0)+(-1)^k p^{(k)}(a-0)=\big(1+(-1)^k\big)\cdot p^{(k)}(a)$. [/mm] Für gerades k ergibt dies [mm] $2p^{(k)}(a)$, [/mm] für ungerades k aber $0$.
> Und v.a. wie komme ich dann auf die Taylorentwicklung und
> woher kommt das [mm]x^2?[/mm]
Es handelt sich doch um die Taylorentwicklung von [mm] $f_a$ [/mm] an der Stelle $x=0$. Der Koeffizient von [mm] $x^2$ [/mm] in dieser Taylorentwicklung ist, wegen [mm] $f_a''(0)=2p''(a)$, [/mm] gleich [mm] $\frac{f_a''(0)}{2!}=p''(a)$.
[/mm]
> b) Die ersten beiden Folgepfeile versteh ich, aber wieso
> folgt "es gibt genau ein a [mm]\in \IR[/mm] mit p(a+x)+p(a-x)=2p(a)"
> mit der Taylorreihe?
Setze dieses eine a mit $p''(a)=0$ in die angegebene Taylorentwicklung [mm] $f_a(x)=2p(a)+p''(a) x^2$ [/mm] ein. Dies ergibt doch [mm] $f_a(x)=2p(a)+0\cdot x^2=2p(a)$. $f_a(x)$ [/mm] ist aber auch als $p(a+x)+p(a-x)$ definiert. Fazit: es gilt $p(a+x)+p(a-x)=2p(a)$, für dieses spezielle a.
> c) Wie soll ich das mit b) zeigen? Muss ich um Symmetrie
> zu zeigen nicht einfach in die Funktion (hier in das
> Polynom) -x statt x einsetzen und dann schauen was
> rauskommt?
Mach Dir doch einmal eine Skizze des Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades. Wobei a die $x$-Koordinate ihres Wendepunktes ist. Angenommen dieser Graph ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt (a|p(a)), wie steht dies in Beziehung zu $p(a+x)+p(a-x)=2p(a)$?
x kannst Du in dieser Beziehung als den Abstand eines Punktes des Graphen y=p(x) in x-Richtung vom Wendepunkt (a|p(a)) auffassen. Punktsymmetrie besteht genau dann, wenn die jeweiligen Differenzen y-Koordiaten der Punkte (a+x|p(a+x)), (a-x|p(a-x)) von der y-Koordinate des Wendepunktes (a|p(a)) entgegengesetzt gleich gross sind, so dass eben p(a+x)+p(a-x)=2p(a) gilt.
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