Taylorentwicklung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Kann mir hier jemand sagen, wie ich mit der Taylorentwicklung ln(1.1) auf 6 Stellen genau berechnen kann? Ich bin in Numerik ne Niete und verstehe einfach nix. Wäre echt sehr nett.
Danke schonmal
LG
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Hallo tynia!
Verwende die Taylor-Reihe für [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) mit dem Wert $x \ = \ 0{,}1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Danke erstmal. Ich versuche das gleich. Aber woher weiß ich, dass ich diese nehmen muss? Gäbe es da noch andere? Oder muss ich mir einfach die wichtigsten merken?
Ist dann x=0,1 mein Entwicklungspunkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 29.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ist dann x=0,1 mein Entwicklungspunkt?
Nein, siehe weiter unten. Der Entwicklungspunkt ist das [mm] $x_0$.
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Folgendes habe ich jetzt gemacht oder verstanden:
Taylorentwicklung: [mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}+R_{k}(x)
[/mm]
Restglied: [mm] R_{k}(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
[mm] f^{k}(x_{0}) [/mm] steht für die k-te Ableitung.
Die Ableitung von ln(x) ist 1/x .
Die Ableitung dessen ist -1/x² und so weiter.
Als Entwicklungspunkt kann man nicht [mm] x_{0}=0 [/mm] wählen, da ln(0) nicht definiert ist, deshalb [mm] x_{0}=1. [/mm] ( Hätte man da auch irgendeine andere Zahl nehmen können? )
Da entfällt der erste Summand, da ln(1)=0 und die Ableitungen werden auch einfach.
Das habe ich dazu im Internet gefunden.Was mache ich denn jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 29.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi Tina!
> Ok. Folgendes habe ich jetzt gemacht oder verstanden:
>
> Taylorentwicklung:
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}+R_{k}(x)[/mm]
>
> Restglied:
> [mm]R_{k}(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}[/mm]
>
> [mm]f^{k}(x_{0})[/mm] steht für die k-te Ableitung.
>
> Die Ableitung von ln(x) ist 1/x .
> Die Ableitung dessen ist -1/x² und so weiter.
>
> Als Entwicklungspunkt kann man nicht [mm]x_{0}=0[/mm] wählen, da
> ln(0) nicht definiert ist, deshalb [mm]x_{0}=1.[/mm] ( Hätte man da
> auch irgendeine andere Zahl nehmen können? )
> Da entfällt der erste Summand, da ln(1)=0 und die
> Ableitungen werden auch einfach.
>
> Das habe ich dazu im Internet gefunden.Was mache ich denn
> jetzt weiter?
Du kannst jetzt deinen TR nehmen und einfach mal einen kleinen Abschnitt der Taylor-Reihe addieren. Das ist vielleicht gar nicht so schlecht, man kriegt dann (gerade als Numerik-Niete  ) ein gewisses Gerfühl für die Angelegenheit.
Dein Ergebnis soll auf 6 Stellen genau sein. Das kannst du nicht aus dem hohlen Bauch entscheiden, sondern mußt dir noch ein paar theoretische Gedanken - also Gedanken zur Theorie - machen. Da hilft hoffentlich das Restglied. Wie groß darf es höchstens sein?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
In der Aufgabe steht nichts darüber wie groß es sein darf. Die Aufgabe lautet genau so: Berechne mit Hilfe der Taylorentwicklung ln(1.1) auf 6 Stellen genau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mi 29.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> In der Aufgabe steht nichts darüber wie groß es sein
> darf. Die Aufgabe lautet genau so: Berechne mit Hilfe der
> Taylorentwicklung ln(1.1) auf 6 Stellen genau.
Und was heißt das für
$ [mm] |f(x)-\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}|=|R_{k}(x)| [/mm] < ????$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Soll ich ehrlich sein?
Ich habe keine Ahnung ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 29.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Soll ich ehrlich sein?
>
> Ich habe keine Ahnung
Hallo,
angenommen, du nimmst einige Summanden und hast damit ein Ergebnis
(und das wäre für dich genau genug). Irgendwann hast du mit einem letzten Summanden aufgehört.
Jetzt entschließt du dich, doch noch einen weiteren Summanden zu nehmen. Dieser neue Summand hat noch einen Wert von -nehmen wir mal an- 0,00013546. Wie stark ändert sich dein bisheriges Ergebnis?
(Genauer: welche Kommastellen des bisherigen Ergebnisses ändern sich mit dem neuen Summanden?) Konntest du dich also bei deinem bisherigen Ergebnis schon auf 6 Stellen nach dem Komma verlassen? Wie groß darf der letzte Summand also höchstens sein, dass sich auf den ersten 6 Stellen NICHTS mehr ändert?
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mi 29.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir an, Du hast eine Größe G angenähert mit einer Größe N und es gilt
$|G-N|< [mm] 10^{-1}$
[/mm]
Frage: in wieviel Nachkommastellen stimmt N mit G überein ?
Gleiche Frage mit
$|G-N|< [mm] 10^{-2}$.
[/mm]
Gleiche Frage mit
$|G-N|< [mm] 10^{-3}$.
[/mm]
Gleiche Frage mit
$|G-N|< [mm] 10^{-6}$.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Die Taylorentwicklung für ln(1+x) ist ja [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^{(k+1)}\bruch{x^{k}}{k}= x-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{x^{4}}{4}+....
[/mm]
Setze ich dann einfach nur für x=0,1 ein? ich weiß nicht was ich machen soll?
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Hallo tynia!
> Setze ich dann einfach nur für x=0,1 ein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, wie ich oben bereits schrieb.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Ich mache mal.
Also: [mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}-\bruch{0,1^{6}}{6}+\bruch{0,1^{7}}{7}...
[/mm]
[mm] =0,1-5^{-03}+3,33...^{-04}-2,5^{-05}+2^{-06}-1,42857...^{-08}...
[/mm]
[mm] =0,1-5*10^{-3}+3,33333...*10^{-4}-2,5*10^{-5}+2*10^{-6}-1,42857...*10^{-8}
[/mm]
Und was jetzt????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 29.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok. Ich mache mal.
>
> Also:
> [mm]0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}-\bruch{0,1^{6}}{6}+\bruch{0,1^{7}}{7}...[/mm]
>
> [mm]=0,1-5^{-03}+3,33...^{-04}-2,5^{-05}+2^{-06}-1,42857...^{-08}...[/mm]
>
> [mm]=0,1-5*10^{-3}+3,33333...*10^{-4}-2,5*10^{-5}+2*10^{-6}-1,42857...*10^{-8}[/mm]
>
> Und was jetzt????
Das nutzt nicht viel. Berechne konkret und vergleiche die Ergebnisse
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}=
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}=
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}=
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}=
[/mm]
So bekommst du erst mal ein Gefühl für das Problem. Siehe auch meine andere Antwort.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Aha,ok. ich verstehe so langsam.
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}=0,095
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}=0,09533333
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}=0,95308333
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}=0,095310333
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}-\bruch{0,1^{6}}{6}=0,095310166
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}-\bruch{0,1^{6}}{6}+\bruch{0,1^{7}}{7}=0,09531018
[/mm]
[mm] 0,1-\bruch{0,1^{2}}{2}+\bruch{0,1^{3}}{3}-\bruch{0,1^{4}}{4}+\bruch{0,1^{5}}{5}-\bruch{0,1^{6}}{6}+\bruch{0,1^{7}}{7}-\bruch{0,1^{8}}{8}=0,095310179
[/mm]
usw.
Ich sehe also, dass 0,095310 das Ergebnis sein muss,oder? Aber wozu brauche ich jetzt das Restglied von Lagrange?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mi 29.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
normalerweise will man vorher wissen, wie weit man rechnen sollte um eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen.
Dazu siht man sich eben zuerst das Restglied an, das schaetzt man ab, nimmt also den groessten wert den es in dem betrchteten gebiet hat, hier bei x=0,1 und WEISS DANN MIT SICHERHEIT dass der Fehler also die Ungenauigkeit kleiner ist als das Restglied. Die Abschaetzung des Restglieds ist also der Beweis dafuer, dass du nur bis ... rechnen musst um 6 genaue stellen zu haben, dazu muss das Restgleid kleiner [mm] 5*10^{-7} [/mm] sein.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 29.07.2009 | | Autor: | tynia |
Danke dir. So langsam verstehe ich doch was 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Do 30.07.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo Tynia,
auch ohne Restgliedabschätzung gibt es eine Faustregel für die Genauigkeit mit Hilfe der benutzten Potenzen. [mm] x^6 [/mm] mit x=0,1 liefert einen Beitrag von 10^-6 in der Reihe, [mm] x^7 [/mm] analog mit 10^-7 ..., zusätzlich wirken die Koeffizienten; also ist für die Fragestellung klar, dass man bis zu diesen Potenzen gehen sollte. Wenn man es genauer braucht (oder machen soll :) ), schätzt man ab.
MfG
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