Taylorentwicklung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 So 29.11.2009 | | Autor: | waruna |
Ich habe solcher Wurzel:
[mm] \wurzel{1+(\bruch{z+d}{R})^{2}}
[/mm]
und will gucken was wird passieren, wenn |z|<d.
In Musterloesung haben sie das so entwickelt:
[mm] 1+\bruch{1}{2}(\bruch{z+d}{R})^{2}
[/mm]
habe ich aber keine Achnung, wie sie das erhalten haben. Welche Entwicklungspunkt soll ich eigentlich in der Formel fur Taylorreihe nutzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 So 29.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo waruna,
so wie die Terme aussehen, hat man hier eine Potenzreihenentwicklung nach dem ersten Glied abgebrochen
$$ [mm] \wurzel{1+x} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x - [mm] \bruch{1}{8} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{48}x^3 [/mm] ..... $$ und für x den Bruch eingesetzt.
Viele Grüße,
Infinit
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Wenn du nur 2 Glieder in der Entwicklung brauchst, kannst du folgenden Ansatz machen:
Falls [mm] (\bruch{z+d}{R})^{2} [/mm] deutlich kleiner als 1 ist, gibt die Wurzel ja nicht viel mehr als 1. Also sagst du:
[mm]\wurzel{1+(\bruch{z+d}{R})^{2}} = 1 + x[/mm].
Nun quadrierst du beide Seiten und erhältst (bin. Formel!)
[mm]1+(\bruch{z+d}{R})^{2} = 1 + 2x + x^2[/mm].
Da [mm] x^2 [/mm] vermutlich noch viel kleiner ist als 2x, machst du nun einen kleinen Fehler, indem du [mm] x^2 [/mm] weglässt. Daraus ergibt sich sofort
[mm] (\bruch{z+d}{R})^{2} [/mm] = 2x und somit
[mm] (\bruch{z+d}{R})^{2}/2 [/mm] = x.
Somit [mm]\wurzel{1+(\bruch{z+d}{R})^{2}} = 1 + (\bruch{z+d}{R})^{2}/2[/mm].
Den Fehler, den du gemacht hast, lässt sich dadurch korrigieren, dass du nach Taylor weitere Glieder berechnest und ihn dadurch korrigierst. Der Fehler ist um so größer, je mehr der Wert von [mm] (\bruch{z+d}{R})^{2} [/mm] sich dem Wert von 1 nähert.
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