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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 in [mm] x_0=\pi [/mm] der Funktion [mm] f:\IR\mapsto\IR:f(x)=x^3*\sin(x) [/mm] |
Hallo,
würde mich freuen, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
Da nichts über Restgliedabschätzung steht brauche ich nur die ersten drei Ableitungen. (Oder muss man dies trotzdem immer machen?)
[mm] f(\pi)=\pi^3sin(\pi)
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^2*sin(x)+x^3*cos(x)
[/mm]
[mm] f'(\pi)=3\pi^2*sin(\pi)+\pi^3*cos(\pi)
[/mm]
[mm] f''(x)=6x+sin(x)+3x^2*cos(x)+3x^2*cos(x)+x^3-sin(x)
[/mm]
[mm] =6x+2(3x^2*cos(x))
[/mm]
[mm] f''(\pi)=6\pi+2(3\pi^2*cos(\pi))
[/mm]
[mm] f'''(x)=6+2(6x*cos(x)+3x^2*(-sin(x))
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung?
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe für [mm] sin(\pi) [/mm] den wert 0 und für [mm] cos(\pi) [/mm] den Wert -1.
d.h.:
> Hallo Melisa,
>
> > Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 in [mm]x_0=\pi[/mm]
> > der Funktion f: [mm]\IR-> \IR f(x)0x^3*sinx[/mm]
> > Hallo,
> > [mm]f(\pi)=\pi^3sin(\pi)[/mm]
>
> Ja, und das ist [mm]=\ldots[/mm]
das ist 0
> >
> > [mm]f''(\pi)=6\pi+2(3\pi^2*cos(\pi))[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Das ist nicht richtig, außerdem setze doch endlich mal
> ein: [mm]\sin(\pi)=\ldots, \cos(\pi)=\ldots[/mm]
>
[mm] f''(\pi)=6\pi*cos(\pi)=-6\pi
[/mm]
ist das jz korrekt?
für die dritte Ableitung habe ich jetzt:
[mm] f'''(x)=((6-3x^2)sin(x))+((6x-x^3)*cos(x))+(12x*cos(x))+(6x^2*(-sin(x))
[/mm]
stimmt das diesmal?
Danke im voraus.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe für [mm]sin(\pi)[/mm] den wert 0 und für [mm]cos(\pi)[/mm] den
> Wert -1.
>
> d.h.:
> > Hallo Melisa,
> >
> > > Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 in [mm]x_0=\pi[/mm]
> > > der Funktion f: [mm]\IR-> \IR f(x)0x^3*sinx[/mm]
> > > Hallo,
>
> > > [mm]f(\pi)=\pi^3sin(\pi)[/mm]
> >
> > Ja, und das ist [mm]=\ldots[/mm]
>
>
> das ist 0
>
>
> > >
> > > [mm]f''(\pi)=6\pi+2(3\pi^2*cos(\pi))[/mm]
> >
> > Das ist nicht richtig, außerdem setze doch endlich mal
> > ein: [mm]\sin(\pi)=\ldots, \cos(\pi)=\ldots[/mm]
> >
>
> [mm]f''(\pi)=6\pi*cos(\pi)=-6\pi[/mm]
>
> ist das jz korrekt?
Nein, es ist [mm]f''(\pi)=6\pi^2*cos(\pi)=-6\pi^2[/mm]
>
>
> für die dritte Ableitung habe ich jetzt:
>
> [mm]f'''(x)=((6-3x^2)sin(x))+((6x-x^3)*cos(x))+(12x*cos(x))+(6x^2*(-sin(x))[/mm]
>
> stimmt das diesmal?
Ja
FRED
>
>
> Danke im voraus.
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
für [mm] f'''(\pi) [/mm] habe ich jetzt
[mm] =-6\pi+\pi^3-12\pi=-18\pi+\pi^3
[/mm]
Hieraus ergibt sich:
[mm] T_{3}(x)=0-\pi^3(x-1)-\bruch{6\pi^2}{2!}(x-1)^2+\bruch{-18\pi+\pi^3}{3!}(x-1)^3
[/mm]
das stimmt oder?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> für [mm]f'''(\pi)[/mm] habe ich jetzt
>
> [mm]=-6\pi+\pi^3-12\pi=-18\pi+\pi^3[/mm]
>
> Hieraus ergibt sich:
>
> [mm]T_{3}(x)=0-\pi^3(x-1)-\bruch{6\pi^2}{2!}(x-1)^2+\bruch{-18\pi+\pi^3}{3!}(x-1)^3[/mm]
>
> das stimmt oder?
Ja
FRED
>
>
>
> Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
danke für eure Hilfe!
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Ist dies nicht Falsch?
> >
> [mm]T_{3}(x)=0-\pi^3(x-1)-\bruch{6\pi^2}{2!}(x-1)^2+\bruch{-18\pi+\pi^3}{3!}(x-1)^3[/mm]
> >
Die Definition für das Taylorpolynom lautet:
[mm]T_{n}f(x;a):=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
Als Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] haben wir hier [mm] \pi, [/mm] also muss das Taylorpolynom lauten:
[mm]T_{3}(x)=0-\pi^3(x-\pi)-\bruch{6\pi^2}{2!}(x-\pi)^2+\bruch{-18\pi+\pi^3}{3!}(x-\pi)^3[/mm]
...stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist dies nicht Falsch?
>
> > >
> >
> [mm]T_{3}(x)=0-\pi^3(x-1)-\bruch{6\pi^2}{2!}(x-1)^2+\bruch{-18\pi+\pi^3}{3!}(x-1)^3[/mm]
> > >
>
Ja Du hast recht , die Entw. -stelle ist [mm] \pi
[/mm]
> Die Definition für das Taylorpolynom lautet:
>
> [mm]T_{n}f(x;a):=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
>
> Als Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] haben wir hier [mm]\pi,[/mm] also muss das
> Taylorpolynom lauten:
>
> [mm]T_{3}(x)=0-\pi^3(x-\pi)-\bruch{6\pi^2}{2!}(x-\pi)^2+\bruch{-18\pi+\pi^3}{3!}(x-\pi)^3[/mm]
>
> ...stimmt das so?
Jetzt stimmts
FRED
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
