Taylorentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Taylorreihen der folgenden Funktionen mit den angegebenen Entwicklungspunkten [mm] x_{0}. [/mm] Bestimmen Sie den jeweiligen Konvergenzradius.
i) sinx mit [mm] x_{0}=\pi/2 [/mm] |
Hallo,
so hier was ich bisher geschafft habe:
[mm] f(x)=f(x_{0})+\bruch{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\bruch{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0}^{n})
[/mm]
[mm] f(x)=sin(\pi/2)+\bruch{cos(\pi/2)}{1!}(x-\pi/2)-\bruch{sin(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^{2}-\bruch{(cos(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^{3}+...
[/mm]
[mm] f(x)=1-\bruch{1}{2!}(x-(\pi/2))^{2}+\bruch{1}{4!}(x-(\pi/2))^{4}-\bruch{1}{6!}(x-(\pi/2))^{6}+...
[/mm]
also jetzt fangen die Probleme an:
- Kann ich vielleicht die 1 am anfang weglassen, weil das ja eh eine [mm] \infty [/mm] Reihe wird? so könnte zumindest einmal im nenner (2k)! schreiben --> [mm] \summe_{k=0}^{n}=\bruch{}{(2k)!}
[/mm]
- was mache ich jetzt mit dem [mm] \pi/2 [/mm] , dass sich im [mm] (x-x_{0}) [/mm] befindet? noch eine kleine frage hierbei: nennt man [mm] (x-x_{0}) [/mm] den Term? sry, aber ich habe sehr viele kleine lücken zum grundgerüst^^
- und das wechselnde Vorzeichen muss ich klären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 31.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> so hier was ich bisher geschafft habe:
>
> [mm]f(x)=f(x_{0})+\bruch{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\bruch{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0}^{n})[/mm]
Das sieht doch schon ganz gut aus (wenn Du noch das letzte hoch n aus der Klammer rausnimmst.)
>
> [mm]f(x)=sin(\pi/2)+\bruch{cos(\pi/2)}{1!}(x-\pi/2)-\bruch{sin(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^{2}-\bruch{(cos(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^{3}+...[/mm]
>
> [mm]f(x)=1-\bruch{1}{2!}(x-(\pi/2))^{2}+\bruch{1}{4!}(x-(\pi/2))^{4}-\bruch{1}{6!}(x-(\pi/2))^{6}+...[/mm]
>
> also jetzt fangen die Probleme an:
>
> - Kann ich vielleicht die 1 am anfang weglassen, weil das
nein, das geht nicht.
> ja eh eine [mm]\infty[/mm] Reihe wird? so könnte zumindest einmal
> im nenner (2k)! schreiben -->
> [mm]\summe_{k=0}^{n}=\bruch{}{(2k)!}[/mm]
Du kannst aber trotzdem im Nenner (2k)! schreiben und die Reihe bei 0 beginnen lassen, denn [mm] $(2\cdot [/mm] 0)!=1$
> - was mache ich jetzt mit dem [mm]\pi/2[/mm] , dass sich im
> [mm](x-x_{0})[/mm] befindet? noch eine kleine frage hierbei:
das lässt Du am besten genau da stehen wo es ist.
> nennt
> man [mm](x-x_{0})[/mm] den Term? sry, aber ich habe sehr viele
> kleine lücken zum grundgerüst^^
[mm] $(x-x_0)$ [/mm] ist ein Term, aber ich weiß nicht welchen Du mit "dem" Term meinst...
>
> - und das wechselnde Vorzeichen muss ich klären.
versuchs mal mit [mm] $(-1)^k$
[/mm]
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:16 Mi 01.09.2010 | | Autor: | monstre123 |
Hallo,
so hier: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}(x-\pi/2)^{2k} [/mm]
stimmts?
und wie könnte ich den Kovergenzradius bestimmen. So vielleicht:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}=\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}(x-\pi/2)^{2k} [/mm] , wenn ja, woher kenne ich x ?
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> Hallo,
>
> so hier:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}(x-\pi/2)^{2k}[/mm]
>
> stimmts?
Hallo,
das stimmt fast.
Allerdings ist jetzt der erste Summand [mm] -\bruch{1}{2!}(x-\pi/2)^2, [/mm] Du wolltest jedoch als ersten Summnden die 1 haben.
Wie's geht, hat Dir notinX bereits gesagt.
> und wie könnte ich den Kovergenzradius bestimmen. So
> vielleicht:
Bedenke, daß wir nicht in einer Quizsendung sind...
Im Klartext: lies jetzt erstmal ein nach, wie man den Konvergenzradius berechnen kann.
Teil uns dann die Ergebnisse Deiner Bemühungen mit und die Schlüsse, die Du bzgl. Deiner Aufgabe daraus ziehst.
Wenn Du noch keine Schlüsse ziehen kannst, formuliere Dein Problem.
Danach kann man hier sinnvoll weitermachen.
Gruß v. Angela
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> >
> > stimmts?
>
> Hallo,
>
> das stimmt fast.
> Allerdings ist jetzt der erste Summand
> [mm]-\bruch{1}{2!}(x-\pi/2)^2,[/mm] Du wolltest jedoch als ersten
> Summnden die 1 haben.
> Wie's geht, hat Dir notinX bereits gesagt.
habe nur vegessen die 1 in 0 umzuwandeln^^
>
>
> > und wie könnte ich den Kovergenzradius bestimmen. So
> > vielleicht:
>
> Bedenke, daß wir nicht in einer Quizsendung sind...
> Im Klartext: lies jetzt erstmal ein nach, wie man den
> Konvergenzradius berechnen kann.
> Teil uns dann die Ergebnisse Deiner Bemühungen mit und
> die Schlüsse, die Du bzgl. Deiner Aufgabe daraus ziehst.
> Wenn Du noch keine Schlüsse ziehen kannst, formuliere
> Dein Problem.
Ok^^ ich habe übrigens nachgelesen und ich muss den Konvergenzradius mit [mm] r=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{|a_{n}|})} [/mm] berechnen. ich weiß wie das geht, aber ich würde zugern wissen was das sup ist. das habe ich schon jetzt hundert mal gelesen. ich weiß, dass das ein supremum ist, was die obere schranke bedeutet, aber warum muss ich das hier anwenden oder hier bei der formel hinschreiben? ich meine man muss gar nicht das beachten bzw. ich verstehe die bedeutung nicht? help.
>
> Danach kann man hier sinnvoll weitermachen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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Hallo,
> Ok^^ ich habe übrigens nachgelesen und ich muss den
> Konvergenzradius mit <IMG class=latex alt="<img class=" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$r%3D%5Cbruch%7B1%7D%7B%5Climes%20sup_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D(%5Cwurzel%5Bn%5D%7B%7Ca_%7Bn%7D%7C%7D)%7D$" _cke_realelement="true" latex?>" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%3Cimg%20class%3D$"latex" _cke_realelement="true" alt="$r%3D%5Cbruch%7B1%7D%7B%5Climes%20sup_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D(%5Cwurzel%5Bn%5D%7B%7Ca_%7Bn%7D%7C%7D)%7D$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$r%253D%255Cbruch%257B1%257D%257B%255Climes%2520sup_%257Bn%255Crightarrow%255Cinfty%257D(%255Cwurzel%255Bn%255D%257B%257Ca_%257Bn%257D%257C%257D)%257D$" />" _cke_realelement="true">
> berechnen. ich weiß wie das geht, aber ich würde zugern
> wissen was das sup ist. das habe ich schon jetzt hundert
> mal gelesen. ich weiß, dass das ein supremum ist, was die
> obere schranke bedeutet, aber warum muss ich das hier
> anwenden oder hier bei der formel hinschreiben? ich meine
> man muss gar nicht das beachten bzw. ich verstehe die
> bedeutung nicht? help.
Das ist der Limes superior, der größte Häufungswert.
Im Falle der Konvergenz von <IMG class=latex [mm] alt=$\sqrt[n]{|a_n|}$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Ca_n%7C%7D$" [/mm] _cke_realelement="true"> ist das gleich dem "normalen" Limes.
Das kommt zum Tragen, wenn du sowas wie <IMG class=latex [mm] alt=$a_n=1+(-1)^n$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$a_n%3D1%2B(-1)%5En$" [/mm] _cke_realelement="true"> oder so hast.
Das Ding hat die beiden Häufungswerte 0 und 2, der <IMG class=latex [mm] alt=$\limsup$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Climsup$" _cke_realelement="true"> ist also 2
Gruß
schachuzipus
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Hach, ist das ein Mist mit dem Zitieren, was da fürn Murks rauskommt ...
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> Ok^^ ich habe übrigens nachgelesen und ich muss den
> Konvergenzradius mit <IMG class=latex [mm] alt="$r=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{|a_{n}|})}$" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$r%3D%5Cbruch%7B1%7D%7B%5Climes%20sup_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D(%5Cwurzel%5Bn%5D%7B%7Ca_%7Bn%7D%7C%7D)%7D$" _cke_realelement="true">
> berechnen. ich weiß wie das geht, aber ich würde zugern
> wissen was das sup ist. das habe ich schon jetzt hundert
> mal gelesen. ich weiß, dass das ein supremum ist, was die
> obere schranke bedeutet, aber warum muss ich das hier
> anwenden oder hier bei der formel hinschreiben? ich meine
> man muss gar nicht das beachten bzw. ich verstehe die
> bedeutung nicht? help.
[mm] $\limsup$ [/mm] ist der Limes superior, der größte Häufungswert.
Im Falle der Konvergenz von [mm] $\sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] ist das gleich dem "normalen" Limes.
Es kommt zum Tragen etwa bei [mm] $a_n=1+(-1)^n$
[/mm]
Das hat die beiden Häufungswerte 0 und 2, der Limsup ist hier also 2 (ohne die n-te Wurzel zu betrachten)
Hoffe, nun ist es lesbar ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
>
> so hier:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}=\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}(x-\pi/2)^{2k}[/mm]
>
Der Konvergenzsradius:
[mm] \bruch{1}{R}=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k+1}}|=|\bruch{(-1)^{n+1}(2k)!}{(2k+2)!(-1)^{k}}|= |\bruch{(-1)^{1}(2k)!}{(2k+2)!}|=...
[/mm]
so jetzt zur fakultät: ich habe eine ähnliche aufgabe gehabt: bei der war [mm] \bruch{n!}{(n+1)!} [/mm] und bei der konnte man ja (n+1)!=n!(n+1) und dann mit dem zähler kürzen. hier sieht man ähnliche merkmale aber ich komme nicht drauf (2k+2)! , wenn ich die probe mache stimmen alle ergebnisse von mir nicht :( help.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 01.09.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Der Konvergenzsradius:
>
> [mm]\bruch{1}{R}=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k+1}}|=|\bruch{(-1)^{n+1}(2k)!}{(2k+2)!(-1)^{k}}|= |\bruch{(-1)^{1}(2k)!}{(2k+2)!}|=...[/mm]
Da kann ja was nicht stimmen, denn ...
[mm] $\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k+1}}\right|=1$
[/mm]
PS: In Beträgen kannst Du [mm] $(-1)^n$ [/mm] immer weglassen.
>
> so jetzt zur fakultät: ich habe eine ähnliche aufgabe
> gehabt: bei der war [mm]\bruch{n!}{(n+1)!}[/mm] und bei der konnte
> man ja (n+1)!=n!(n+1) und dann mit dem zähler kürzen.
Das funktioniert hier genauso, nimm nacheinander die letzten Faktoren raus:
[mm] $(2k+2)!=(2k)!\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)$
[/mm]
Gruß,
notinX
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