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| Aufgabe | Berechnen Sie die Taylorpolynome durch Verwendung bekannter Taylorreihen:
i) [mm] T_{7}(\bruch{ln(x+1)}{x^{2}+1}) [/mm] mit [mm] x_{0}=0 [/mm] ii) [mm] T_{3}(sin(ln(x+1))) [/mm] mit [mm] x_{0}=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe ersten Ansatz gestartet, aber bin mir unsicher:
Bekannte Reihen zu i) : [mm] ln(x+1)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{n}}{n}
[/mm]
[mm] T_{7}=\bruch{ln(x+1)}{x^{2}+1}=\bruch{\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{n}}{n}}{x^{2}+1}=\bruch{(-1)^{1+1}\bruch{x^{1}}{1}+(-1)^{2+1}\bruch{x^{2}}{2}+(-1)^{3+1}\bruch{x^{3}}{3}+...+(-1)^{6+1}\bruch{x^{7}}{7}}{x^{2}+1}
[/mm]
Kann man das so machen?
Wenn ja, dann brauche ich noch die Reihe für [mm] (x^{2}+1) [/mm] ?
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Hallo monstre123,
> Berechnen Sie die Taylorpolynome durch Verwendung bekannter
> Taylorreihen:
>
> i) [mm]T_{7}(\bruch{ln(x+1)}{x^{2}+1})[/mm] mit [mm]x_{0}=0[/mm] ii)
> [mm]T_{3}(sin(ln(x+1)))[/mm] mit [mm]x_{0}=0[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ersten Ansatz gestartet, aber bin mir unsicher:
>
> Bekannte Reihen zu i) :
> [mm]ln(x+1)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{n}}{n}[/mm]
>
> [mm]T_{7}=\bruch{ln(x+1)}{x^{2}+1}=\bruch{\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{n}}{n}}{x^{2}+1}=\bruch{(-1)^{1+1}\bruch{x^{1}}{1}+(-1)^{2+1}\bruch{x^{2}}{2}+(-1)^{3+1}\bruch{x^{3}}{3}+...+(-1)^{6+1}\bruch{x^{7}}{7}}{x^{2}+1}[/mm]
>
> Kann man das so machen?
> Wenn ja, dann brauche ich noch die Reihe für [mm](x^{2}+1)[/mm] ?
Nein, besser die für [mm]\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{1-(-x^2)}[/mm]
Das MUSS dir bekannt vorkommen..
Dann multipliziere die Reihen für [mm]\ln(1+x)[/mm] und [mm]\frac{1}{1-(-x^2)}[/mm]
Stichwort Cauchy-Produkt
Gruß
schachuzipus
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ok. aber was mache ich bei ii)?
da kenne ich [mm] sinx=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] und [mm] ln(x+1)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{n}}{n} [/mm] , aber ich kann keine Reihenmultiplikation ausführen, weil die ineinander verzweigt sind. ???
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Hallo monstre123,
> ok. aber was mache ich bei ii)?
> da kenne ich
> [mm]sinx=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> und
> [mm]ln(x+1)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{x^{n}}{n}[/mm] ,
> aber ich kann keine Reihenmultiplikation ausführen, weil
> die ineinander verzweigt sind. ???
Nun, da muss Du für das Argument x bei der Reihe vom Sinus,
die Reihe des ln einsetzen:
[mm]\sin\left(\ln\left(x+1\right)\right)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{ \left( \ \summe_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\bruch{x^{m}}{m} \ \right)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Besser ist allerdings dieser Weg:
[mm]\sin\left(x\right)=x-\bruch{x^3}{3}+O\left(x^{5}\right)[/mm]
[mm]\ln\left(x+1\right)=x-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}+O\left(x^{4}\right)[/mm]
Wie schon erwähnt, setze für das Argument x in sin x , diese Reihe ein,
dann ergibt sich:
[mm]\sin\left(\ln\left(x+1\right)\right)=\left( \ x-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}+O\left(x^{4}\right) \ \right)-\bruch{\left( x-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}+O\left(x^{4}\right) \right)^{3}}{3}+O\left(x^{5}\right)[/mm]
Berechne hier die ersten 4 Glieder, also [mm]x^ {0}, \ x^{1}, \ x^{2}, \ x^{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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