Taylorentwicklung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 16.01.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich wollte mal fragen ob mir wer die Taylorentwicklung plausibel erklären kann.
Ich kenne zwar die Formel aber kann mit dieser nicht viel anfangen
Als bsp soll ich [mm] \bruch{8}{(4-x^2)} [/mm] als taylorentwicklung um die Entwicklungsstelle x=0 angeben
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> Hallo,
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> Ich wollte mal fragen ob mir wer die Taylorentwicklung
> plausibel erklären kann.
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> Ich kenne zwar die Formel aber kann mit dieser nicht viel
> anfangen
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> Als bsp soll ich [mm]\bruch{8}{(4-x^2)}[/mm] als taylorentwicklung
> um die Entwicklungsstelle x=0 angeben
Hallo racy90,
das Taylorpolynom vom Grad n für eine vorgegebene Funktion
f , entwickelt an der Entwicklungsstelle [mm] x_0 [/mm] , ist dasjenige
Polynom [mm] T_n [/mm] (mit der Variablen x) , welches die Funktion f in der
Umgebung von [mm] x_0 [/mm] bestmöglich approximiert. Dies erreicht
man dadurch, dass man dafür sorgt, dass [mm] T_n [/mm] mit f an der Stelle
[mm] x_0 [/mm] im Funktionswert und in den ersten n Ableitungen überein-
stimmt.
Ist speziell [mm] x_0=0 [/mm] (wie in deinem Beispiel) und zum Beispiel
n=3 , so kann man für [mm] T_n [/mm] den Ansatz machen:
$\ [mm] T_3(x)\ [/mm] =\ [mm] t_0+t_1*x+t_2*x^2+t_3*x^3$
[/mm]
Nun berechnest du die Ableitungen (bis zur dritten) der gegebenen
Funktion und von [mm] T_3 [/mm] . Setze überall für x den vorgegebenen Wert
[mm] x_0=0 [/mm] ein (das wird sehr einfach !) und vergleiche die Ergebnisse,
um die Koeffizienten [mm] t_0, t_1, t_2 [/mm] und [mm] t_3 [/mm] zu ermitteln.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 16.01.2011 | | Autor: | racy90 |
aber bei mir steht ja nur geben sie die taylorentwicklung von f(x) um die entwiklungsstelle x=0 an
bis zur wie vielten ableitung muss ich jetzt rechnen? bis zur allgemeinen k-ten ableitung?
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Hallo racy90,
> aber bei mir steht ja nur geben sie die taylorentwicklung
> von f(x) um die entwiklungsstelle x=0 an
>
> bis zur wie vielten ableitung muss ich jetzt rechnen? bis
> zur allgemeinen k-ten ableitung?
Bei genauerem Betrachten kann man
[mm]\bruch{8}{4-x^{2}}[/mm] in eine geometrische Reihe entwickeln.
Damit ist die Berechnung der Ableitungen
an der Stelle x=0 nicht notwendig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 16.01.2011 | | Autor: | racy90 |
ja die darstellung der geometrischen reihe ist mir bekannt [mm] \bruch{1}{1-x}=\summe_{n=0}^{\infty}x^n
[/mm]
doch genau bei dem liegt mein verständnisproblem,wie schreib ich das jetzt um für mein [mm] f(x)=\bruch{8}{4-x^2}
[/mm]
Wenn ihr mir das verständnisvoll erklären könnt wäre ich sehr dankbar
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> ja die darstellung der geometrischen reihe ist mir bekannt
> [mm]\bruch{1}{1-x}=\summe_{n=0}^{\infty}x^n[/mm]
>
> doch genau bei dem liegt mein verständnisproblem,wie
> schreib ich das jetzt um für mein [mm]f(x)=\bruch{8}{4-x^2}[/mm]
erstmal im nenner die 1 hinzaubern:
[mm] =\frac{2}{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{2}{1-(\frac{x}{2})^2} [/mm] den rest kriegst du hin
>
> Wenn ihr mir das verständnisvoll erklären könnt wäre
> ich sehr dankbar
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 16.01.2011 | | Autor: | racy90 |
kann man so einfach im nenner statt [mm] (4-x^2) (x^2-4) [/mm] ,das is doch nicht dasselbe
ich hab mal beim letzten schritt weitergerechnet ,aber komm leider nicht weiter
[mm] 2/(1-(x^2/2)^2)
[/mm]
[mm] 4/(1-(x^2/2)
[/mm]
[mm] 8/(1-x^2)
[/mm]
sqrt8/(1-x)
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> kann man so einfach im nenner statt [mm](4-x^2) (x^2-4)[/mm] ,das
> is doch nicht dasselbe
>
> ich hab mal beim letzten schritt weitergerechnet ,aber komm
> leider nicht weiter
>
> [mm]2/(1-(x^2/2)^2)[/mm]
>
> [mm]4/(1-(x^2/2)[/mm]
>
> [mm]8/(1-x^2)[/mm]
>
> sqrt8/(1-x)
nenn in meinem beitrag mal [mm] (x^2/2)^2 [/mm] z und schau ob dir das dann eher weiterhilft
was du oben gerechnet hast, kann man nicht nachvollziehen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 16.01.2011 | | Autor: | racy90 |
nein nicht wirklich
wie soll ich dann von [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] kommen??
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Hallo racy90,
> nein nicht wirklich
>
>
> wie soll ich dann von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] auf [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
> kommen??
Hier hast Du geschrieben:
[mm]\bruch{1}{1-x}=\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}, \ \vmat{x}<1[/mm]
Setze für x =z,dann steht da:
[mm]\bruch{1}{1-\blue{z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\blue{z}^{k}, \ \vmat{\blue{z}}<1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 16.01.2011 | | Autor: | racy90 |
aso war es gemeint,ich hab gedacht es muss ausdrücklich etwas mit x dastehen
danke
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> aso war es gemeint,ich hab gedacht es muss ausdrücklich
> etwas mit x dastehen
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> danke
soll es auch..
dein z ist jetzt [mm] (x/2)^2, [/mm] also wie sieht die reihe dazu aus?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Mo 17.01.2011 | | Autor: | racy90 |
wie muss man vorgehen,bei dem "erstellen" der neuen reihe,das hab ich nie verstanden
[mm] \bruch{1}{1-(\bruch{x^2}{2})^2
}=\summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] und wie muss ich jetzt [mm] vorgehen,x^n [/mm] kann sicher nicht alles gewesen sein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> wie muss man vorgehen,bei dem "erstellen" der neuen
> reihe,das hab ich nie verstanden
>
>
> [mm]\bruch{1}{1-(\bruch{x^2}{2})^2
}=\summe_{n=0}^{\infty}x^n[/mm]
Nein. Da steht: [mm] \bruch{1}{1-(\bruch{x}{2})^2}. [/mm] Setze [mm] z=(\bruch{x}{2})^2
[/mm]
Dann: [mm] \bruch{1}{1-(\bruch{x}{2})^2}= \bruch{1}{1-z}= \summe_{n=0}^{\infty}z^n= [/mm] ....
FRED
> und wie muss ich jetzt
> [mm]vorgehen,x^n[/mm] kann sicher nicht alles gewesen sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mo 17.01.2011 | | Autor: | racy90 |
sorry habs missverständlich aufgeschrieben
aber soweit bin ich schon aber wie gehts weiter??
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Hallo racy90,
> sorry habs missverständlich aufgeschrieben
>
> aber soweit bin ich schon aber wie gehts weiter??
Ja wie? Wie geht's weiter?
Ersetze endlich mal das blöde z und benutze die Potenzgesetze, um die Reihe schließlich in die Form [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}x^k$ [/mm] zu bekommen.
Mensch Meier
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mo 17.01.2011 | | Autor: | racy90 |
vielleicht so
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}2*((\bruch{x^2}{2})^2)^n
[/mm]
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> vielleicht so
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2*((\bruch{x^2}{2})^2)^n[/mm]
du meinst hoffentlich
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}2*((\bruch{x}{2})^2)^n
[/mm]
jetzt nur noch in die form einer potenzreihe bringen
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.
[/mm]
gruß tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mo 17.01.2011 | | Autor: | racy90 |
wie meinst du das?
ist $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2\cdot{}((\bruch{x}{2})^2)^n [/mm] $ an?
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Hallo nochmal,
> wie meinst du das?
>
> ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2\cdot{}((\bruch{x}{2})^2)^n[/mm] an?
Nein! Da steckt doch x mit drin ...
Gruß
schachuzipus
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