Taylorentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 06.08.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Beschäftige mich gerade mit Taylorpolynomen. Ausgangspunkt ist die Taylorformel im Mehrdimensionalen mit f(x) = [mm] \summe_{|\alpha|=0}^{n} \bruch{f^{\alpha}}{\alpha!} (x_0) (x-x_0)^{\alpha}. [/mm] Meine Funktion f :IR x IR [mm] \to [/mm] IR sei gegeben mit f(x,y) := [mm] \bruch{x-y}{x+y}. [/mm] Zu Bestimmen ist die Taylorentwicklung der Funktion im Punkt P(1,1) bis zur 2. Ordnung.
Meine Vorgehensweise:
Zunächst betrachtet man [mm] \alpha=0. [/mm] Allgemein ergibt sich für [mm] \alpha [/mm] folgende Gestalt: [mm] \alpha=(\alpha_1,....,\alpha_n); [/mm] Da f in den eindimensionalen Raum IR abbildet gilt [mm] \alpha=\alpha_1. [/mm] Somit gilt für [mm] \alpha=0: \bruch{f^{0}}{0!} [/mm] (1,1) [mm] (x-(1,1))^{0} [/mm] = [mm] f^{0} [/mm] (1,1)= 0;
Analog für [mm] \alpha=1: \bruch{f^{1}}{1!} [/mm] (1,1) [mm] (x-(1,1))^{1}Ab [/mm] hier frage ich mich welche Ableitung ich von f nehmen soll. Soll f nach x oder y abgeleitet werden? Und wie berechnet man den Term x-(1,1). Ist das äquivalent zu [mm] x_1 [/mm] - 1 und [mm] x_2 [/mm] -1? bzw. x -1 und y-1? Und wie potenziert man diesen Ausdruck. Angenommen [mm] \alpha [/mm] wäre 2 Stünde dann einfach
[mm] \bruch{f^{2}}{2!} [/mm] (1,1) [mm] (x-1)^{2}(y-1)^{2} [/mm] da?
Viele Grüße
Jacob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Sa 06.08.2011 | | Autor: | jacob17 |
Ich glaube ich habe den Fehler entdeckt für [mm] \alpha [/mm] muss gelten: [mm] \alpha= (\alpha_1,\alpha_2), [/mm] oder?
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Hallo jacob17,
> Hallo zusammen,
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> Beschäftige mich gerade mit Taylorpolynomen. Ausgangspunkt
> ist die Taylorformel im Mehrdimensionalen mit f(x) =
> [mm]\summe_{|\alpha|=0}^{n} \bruch{f^{\alpha}}{\alpha!} (x_0) (x-x_0)^{\alpha}.[/mm]
> Meine Funktion f :IR x IR [mm]\to[/mm] IR sei gegeben mit f(x,y) :=
> [mm]\bruch{x-y}{x+y}.[/mm] Zu Bestimmen ist die Taylorentwicklung
> der Funktion im Punkt P(1,1) bis zur 2. Ordnung.
> Meine Vorgehensweise:
> Zunächst betrachtet man [mm]\alpha=0.[/mm] Allgemein ergibt sich
> für [mm]\alpha[/mm] folgende Gestalt:
> [mm]\alpha=(\alpha_1,....,\alpha_n);[/mm] Da f in den
Desweiteren trifft man bei Verwendung von Multiindices
noch folgende Schreibweisen:
[mm]\alpha!:=\alpha_{1}! * \ ... \ * \alpha_{n}![/mm]
[mm]\vmat{\alpha}:=\alpha_{1}+ \ ... \ + \alpha_{n}[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{\vmat{\alpha}}f}{\partial x^{\alpha}}=\bruch{\partial^{\vmat{\alpha}}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \ ... \ \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}[/mm]
sowie
[mm]\left(x-x_{0}\right)^{\alpha}=\produkt_{j=1}^ {n}\left(x_{j}-x_{0j}\right)^{\alpha_{j}[/mm]
mit [mm]x=\pmat{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}[/mm]
und [mm]x_{0}=\pmat{x_{01} \\ ... \\ x_{0n}}[/mm]
> eindimensionalen Raum IR abbildet gilt [mm]\alpha=\alpha_1.[/mm]
> Somit gilt für [mm]\alpha=0: \bruch{f^{0}}{0!}[/mm] (1,1)
> [mm](x-(1,1))^{0}[/mm] = [mm]f^{0}[/mm] (1,1)= 0;
> Analog für [mm]\alpha=1: \bruch{f^{1}}{1!}[/mm] (1,1)
> [mm](x-(1,1))^{1}Ab[/mm] hier frage ich mich welche Ableitung ich
> von f nehmen soll. Soll f nach x oder y abgeleitet werden?
> Und wie berechnet man den Term x-(1,1). Ist das äquivalent
> zu [mm]x_1[/mm] - 1 und [mm]x_2[/mm] -1? bzw. x -1 und y-1? Und wie
> potenziert man diesen Ausdruck. Angenommen [mm]\alpha[/mm] wäre 2
> Stünde dann einfach
> [mm]\bruch{f^{2}}{2!}[/mm] (1,1) [mm](x-1)^{2}(y-1)^{2}[/mm] da?
Siehe oben.
> Viele Grüße
> Jacob
Gruss
MathePower
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