Taylorentwicklung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 29.09.2005 | | Autor: | ilse |
Hallo,
Ich hab wieder mal eine Aufgabe bei der ich einfach nicht weiss wie ich sie anpacken soll. Ich soll folgende Funktion in eine Taylorreihe entwickeln:
[mm] f(x,y)=x^{3}y^{3}+xy^{4}+x-3 [/mm] um [mm] (x_{0},y_{0})=(1,1);
[/mm]
Ich weiss zwar theoretisch schon wie ich das machen muss, aber wie soll ich bloß auf dieses [mm] (\overrightarrow{h}grad)^{ \nu}f(x,y) [/mm] kommen, gibts da vielleicht irgendeinen Trick den ich anwenden kann?
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Hallo ilse,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> Ich hab wieder mal eine Aufgabe bei der ich einfach nicht
> weiss wie ich sie anpacken soll. Ich soll folgende Funktion
> in eine Taylorreihe entwickeln:
>
> [mm]f(x,y)=x^{3}y^{3}+xy^{4}+x-3[/mm] um [mm](x_{0},y_{0})=(1,1);[/mm]
>
> Ich weiss zwar theoretisch schon wie ich das machen muss,
> aber wie soll ich bloß auf dieses
> [mm](\overrightarrow{h}grad)^{ \nu}f(x,y)[/mm] kommen, gibts da
> vielleicht irgendeinen Trick den ich anwenden kann?
Was meint [mm](\overrightarrow{h}grad)^{ \nu}f(x,y)[/mm]?
Vielleicht sowas:
[mm]grad f(x,y)\;=\;
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{f_x } \\
{f_y } \\
\end{array} } \right)[/mm]
[mm]grad
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{f_x } \\
{f_y } \\
\end{array} } \right)\;=\;
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{f_{xx} } & {f_{yx} } \\
{f_{xy} } & {f_{yy} } \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Ich denke, dann ist das bloß eine andere Schreibweise.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Fr 30.09.2005 | | Autor: | ilse |
also das soll heißen:
( [mm] \overrightarrow{h}grad)^{ \nu}=( \bruch{ \partial}{ \partial x}h+\bruch{ \partial}{\partial y}k)^{ \nu}.
[/mm]
Und als Taylorreihe von zwei Veränderlichen x,y ist bei uns angegeben:
T(x,y)= [mm] \summe_{\nu=1}^{ \infty} \bruch{1}{\nu!}( \bruch{ \partial}{\partial x}h+\bruch{ \partial}{\partial y}k)^{ \nu}f(x_{0},y_{0})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Beachte bitte, dass für $n>6$ alle Terme $n$-ter Ordnung rausfliegen, da in jeder der beiden Variablen maximal Polynome der Ordnung $4$ auftreten.
Die Taylorentwicklung um den Punkt $(1/1)$ sieht dann so aus:
$f((1,1) + [mm] (\xi_1,\xi_2))$ [/mm]
$= f(1,1) + [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1 [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2+ \frac{1}{6} \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(1,1) \cdot \xi_1^3+ \frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{6} \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}(1,1) \cdot \xi_2^3+ \frac{1}{24} \frac{\partial^4 f}{\partial x^4}(1,1) \cdot \xi_1^4 [/mm] + [mm] \frac{1}{6} \frac{\partial^4 f}{\partial x^3 \partial y}(1,1) \cdot \xi_1^3 \cdot \xi_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{4} \frac{\partial^4 f}{\partial x^2 \partial y^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{6} \frac{\partial^4 f}{\partial x\partial y^3}(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{24} \frac{\partial^4 f}{\partial y^4}(1,1) \cdot \xi_2^4 [/mm] + [mm] \ldots$.
[/mm]
Manche der Ausdrücke verschwinden auch.
Jetzt nur noch ableiten und einsetzen! 
(Ich hoffe ich habe mich nicht verhaspelt...  ) ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]") Da wird einem ja schwindelig... ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]")
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:44 Fr 30.09.2005 | | Autor: | ilse |
Hallo Julius,
Ok dass Prinzip hab ich glaub verstanden, allerdings habe ich da noch eine Frage zu deinem Ergebnis, eigentlich müsste das doch dann bis zur 6. Ordnung gehen wo ich noch ein von Null verschiedenes Ergebnis kriege, was ist z.B. mit:
[mm] \bruch{ \partial^{6} f}{ \partial^{3} x \partial^{3} y}
[/mm]
da kommt doch bei (1,1) 36 raus oder?
Und dann habe ich noch eine Taylorentwicklung:
f(x,y)= [mm] \wurzel{1+xy} [/mm] um [mm] (x_{0},y_{0})=(0,0)
[/mm]
Da fliegen doch dann auch bei noch so großem n nicht alle Therme raus, also klar ist mir, dass [mm] f_{x}, f_{xx}, f_{xxx}, f_{y}, f_{yy}, f_{yyy} [/mm] usw. immer 0 gibt aber was ist mit den anderen, muss ich da auch ein System erkennen oder geht das auch einfacher?
Viele Grüße
Christine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ok dass Prinzip hab ich glaub verstanden, allerdings habe
> ich da noch eine Frage zu deinem Ergebnis, eigentlich
> müsste das doch dann bis zur 6. Ordnung gehen wo ich noch
> ein von Null verschiedenes Ergebnis kriege, was ist z.B.
> mit:
>
> [mm]\bruch{ \partial^{6} f}{ \partial^{3} x \partial^{3} y}[/mm]
Ja, da hast du Recht. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ich verbessere mal meine Antwort gleich...
> da kommt doch bei (1,1) 36 raus oder?
>
> Und dann habe ich noch eine Taylorentwicklung:
>
> f(x,y)= [mm]\wurzel{1+xy}[/mm] um [mm](x_{0},y_{0})=(0,0)[/mm]
>
> Da fliegen doch dann auch bei noch so großem n nicht alle
> Therme raus, also klar ist mir, dass [mm]f_{x}, f_{xx}, f_{xxx}, f_{y}, f_{yy}, f_{yyy}[/mm]
> usw. immer 0 gibt aber was ist mit den anderen, muss ich da
> auch ein System erkennen oder geht das auch einfacher?
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo ilse,
> Und dann habe ich noch eine Taylorentwicklung:
>
> f(x,y)= [mm]\wurzel{1+xy}[/mm] um [mm](x_{0},y_{0})=(0,0)[/mm]
>
> Da fliegen doch dann auch bei noch so großem n nicht alle
> Therme raus, also klar ist mir, dass [mm]f_{x}, f_{xx}, f_{xxx}, f_{y}, f_{yy}, f_{yyy}[/mm]
> usw. immer 0 gibt aber was ist mit den anderen, muss ich da
> auch ein System erkennen oder geht das auch einfacher?
Die Lösung "strikt nach Vorschrift" wäre in der Tat, die diversen gemischten Ableitungen auszurechnen, bis man das allgemeine Strickmuster für die benötigten Koeffizienten entdeckt.
Aber in der Mathematik ist man ja kreativ (und faul)!
Daher ist es hier günstiger, zunächst die Taylorentwicklung von [mm] $g(z):==\wurzel{1+z}$ [/mm] an der Stelle [mm] $z_0=0$ [/mm] zu bestimmen (das geht ziemlich fix) und anschließend $z=xy$ einzusetzen. Das liefert dann die Taylorentwicklung von $g(xy)=f(x,y)$ an der Stelle (0,0), da [mm] $x_0y_0=0=z_0$ [/mm] ist.
Bei Deiner ursprünlichen Aufgabe hätte übrigens ein anderer Trick geholfen:
Aus [mm] $f(x,y)=x^{3}y^{3}+xy^{4}+x-3$ [/mm] folgt [mm] $f(1+\xi_1,1+\xi_2)=(1+\xi_1)^{3}(1+\xi_2)^{3}+(1+\xi_1)(1+\xi_2)^{4}+(1+\xi_1)-3$
[/mm]
Das kann man dann einfach ausmultiplizieren.
Grüße,
Galois
P.S.: Therme = Thermalquelle... ;)
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