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Taylorentwicklung 2. Ordnung: Jacobi-Matrix, Hesse-Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Do 05.06.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Berechnen Sie für die Funktion

[mm] $f(x,y)=e^x\sin(y)$ [/mm] die Taylorentwicklung im Punkt (0,0) bis zur zweiten Ordnung.

Hi,

ich würde gerne hier die Taylorentwicklung im Nullpunkt durchführen.
Meine Jacobi-Matrix lautet

[mm] $\operatorname{Df}(x,y)=\begin{pmatrix} e^x\sin(y)\\ e^x\cos(y)\end{pmatrix}$ [/mm]

Meine Hesse-Matrix lautet:

[mm] $\operatorname{Hess}(x,y)=\begin{pmatrix} e^x\sin(y)&e^x\cos(y)\\ e^x\cos(y)&-e^x\sin(y)\end{pmatrix}$ [/mm]

Doch nun weiß ich leider nicht so recht wie ich weiter vorzugehen habe.
Wie setze ich diese Teile nun zusammen?

        
Bezug
Taylorentwicklung 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Do 05.06.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Berechnen Sie für die Funktion
>  
> [mm]f(x,y)=e^x\sin(y)[/mm] die Taylorentwicklung im Punkt (0,0) bis
> zur zweiten Ordnung.
>  Hi,
>
> ich würde gerne hier die Taylorentwicklung im Nullpunkt
> durchführen.
>  Meine Jacobi-Matrix lautet
>  
> [mm]\operatorname{Df}(x,y)=\begin{pmatrix} e^x\sin(y)\\ e^x\cos(y)\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Meine Hesse-Matrix lautet:
>  
> [mm]\operatorname{Hess}(x,y)=\begin{pmatrix} e^x\sin(y)&e^x\cos(y)\\ e^x\cos(y)&-e^x\sin(y)\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Doch nun weiß ich leider nicht so recht wie ich weiter
> vorzugehen habe.
> Wie setze ich diese Teile nun zusammen?


So:

[mm]f(0,0)+Df(0,0)^{t} \pmat{x \\ y}+\bruch{1}{2}\pmat{x & y}Hess(0,0)\pmat{x \\ y}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Do 05.06.2014
Autor: YuSul

Danke, jetzt weiß ich auch endlich wie das bei mir im Skript zu deuten ist:

$$ [mm] f(0,0)+Df(0,0)^{t} \pmat{x \\ y}+\bruch{1}{2}\pmat{x & y}Hess(0,0)\pmat{x \\ y} [/mm] $  $

[mm] $0+(0,1)\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}+\frac12(x,y) \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ [/mm]

So würde das dann doch erstmal aussehen, und nun ausmultiplizieren:

[mm] $y+\frac12(y,x)\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ [/mm]

$=y+xy$

So?

Bezug
                        
Bezug
Taylorentwicklung 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:40 Fr 06.06.2014
Autor: fred97


> Danke, jetzt weiß ich auch endlich wie das bei mir im
> Skript zu deuten ist:
>
> [mm][/mm] [mm]f(0,0)+Df(0,0)^{t} \pmat{x \\ y}+\bruch{1}{2}\pmat{x & y}Hess(0,0)\pmat{x \\ y}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> [mm]0+(0,1)\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}+\frac12(x,y) \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}[/mm]
>  
> So würde das dann doch erstmal aussehen, und nun
> ausmultiplizieren:
>  
> [mm]y+\frac12(y,x)\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]=y+xy[/mm]
>  
> So?


Ja

FRED

Bezug
                                
Bezug
Taylorentwicklung 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:54 Fr 06.06.2014
Autor: YuSul

Vielen Dank.

Bezug
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