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Taylorentwicklung, Restglied: Restgliedabschätzung, Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 13.04.2015
Autor: Akiragirl

Aufgabe
Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = [mm] (cos(x))^3, [/mm] x im Intervall von 0 bis [mm] \pi [/mm] das Taylor-Polynom erster Ordnung um den Entwicklungspunkt [mm] x0=\pi/4. [/mm] Geben Sie das dazugehörige Restglied R1(x) an und führen Sie für dieses eine Fehlerabschätzung durch.

Ich habe, denke ich, das Polynom soweit gefunden:
f(x) = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{3*\wurzel{2}*(x-\pi/4)}{4} [/mm] + R1

Für das Restglied ergibt sich nun:
R1 = [mm] \bruch{1}{(n+1)!}*f''(Xi)*(x-\pi/4)^2 [/mm]

Für f''(x) habe ich f''(x) = [mm] 6*cos(x)*(sin(x))^2 [/mm] - [mm] 3(cos(x))^3 [/mm]

Nun weiß ich ja, dass Xi zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liegen muss, aber ich "sehe" ehrlich gesagt nicht direkt, für welches Xi dieser Term maximal wird. Gibt es eine Möglichkeit, hier systematisch vorzugehen oder muss ich einfach verschiedene Werte für Xi "durchprobieren" (0, [mm] \pi/2, \pi/4, \pi [/mm] ...) und schauen, wofür ich den größten Betrag bekomme?
Und ich bin mir auch noch nicht sicher, wie dieses Verhältnis von Xi und x eigentlich ist. "Lege" ich zuerst mein maximales x fest (in diesem Fall wäre das in meinen Augen [mm] \pi, [/mm] da die Differenz aus [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi/4 [/mm] den größtmöglichen Ausdruck in die Klammer bringt) und schließe dann daraus, dass Xi zwischen [mm] \pi/4 [/mm] und [mm] \pi [/mm] liegen muss? Wie genau finde ich dann das maximale Xi für den Maximal-Term (Abschätzung nach oben?). Ich könnte es durch Raten und Probieren herausbekommen, würde aber gerne wissen, ob es hier eine generelle, strukturierte Vorgehenweise gibt.

Vielen Dank!

        
Bezug
Taylorentwicklung, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:13 Di 14.04.2015
Autor: hippias


> Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = [mm](cos(x))^3,[/mm] x im
> Intervall von 0 bis [mm]\pi[/mm] das Taylor-Polynom erster Ordnung
> um den Entwicklungspunkt [mm]x0=\pi/4.[/mm] Geben Sie das
> dazugehörige Restglied R1(x) an und führen Sie für
> dieses eine Fehlerabschätzung durch.
>  Ich habe, denke ich, das Polynom soweit gefunden:
>  f(x) = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{3*\wurzel{2}*(x-\pi/4)}{4}[/mm] + R1
>  
> Für das Restglied ergibt sich nun:
>  R1 = [mm]\bruch{1}{(n+1)!}*f''(Xi)*(x-\pi/4)^2[/mm]
>  
> Für f''(x) habe ich f''(x) = [mm]6*cos(x)*(sin(x))^2[/mm] -
> [mm]3(cos(x))^3[/mm]

Ich habe die Rechnung nicht ueberprueft.

>  
> Nun weiß ich ja, dass Xi zwischen 0 und [mm]\pi[/mm] liegen muss,
> aber ich "sehe" ehrlich gesagt nicht direkt, für welches
> Xi dieser Term maximal wird. Gibt es eine Möglichkeit,
> hier systematisch vorzugehen oder muss ich einfach
> verschiedene Werte für Xi "durchprobieren" (0, [mm]\pi/2, \pi/4, \pi[/mm]
> ...) und schauen, wofür ich den größten Betrag bekomme?

Nein, das ist keinesfalls ausreichend.

>  Und ich bin mir auch noch nicht sicher, wie dieses
> Verhältnis von Xi und x eigentlich ist. "Lege" ich zuerst
> mein maximales x fest (in diesem Fall wäre das in meinen
> Augen [mm]\pi,[/mm] da die Differenz aus [mm]\pi[/mm] und [mm]\pi/4[/mm] den
> größtmöglichen Ausdruck in die Klammer bringt) und
> schließe dann daraus, dass Xi zwischen [mm]\pi/4[/mm] und [mm]\pi[/mm]
> liegen muss? Wie genau finde ich dann das maximale Xi für
> den Maximal-Term (Abschätzung nach oben?). Ich könnte es
> durch Raten und Probieren herausbekommen, würde aber gerne
> wissen, ob es hier eine generelle, strukturierte
> Vorgehenweise gibt.

Die generelle und strukturierte Vorgehensweise ist eine Kurvendiskussion fuer $f''$ durchzufuehren, um ihre Spannweite zu ermitteln.

In Deinem Falle koennte ich aber ohne weitere Rechung sagen, dass z.B. [mm] $f''\leq [/mm] 9$ ist, weil Sinus und Kosinus nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen koennen. Dies ist nur eine grobe Abschaetzung. Kannst Du eine Abschaetzung nach unten angeben?

>  
> Vielen Dank!  


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