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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 25.01.2009 | | Autor: | Zyklowa |
| Aufgabe | Eigentlich eine Aufgabe in der Numerik (was ihr nicht können müsst), denn sie wird mit Methoden aus der Analysis gelöst:
Ein explizites Einschrittverfahren habe die Form:
[mm] $y_{i+1} [/mm] := [mm] y_i [/mm] + [mm] h_i f(t_i [/mm] + 0.5 [mm] h_i, y_i [/mm] + 0.5 [mm] h_i f(t_i,y_i)) [/mm] $
Welche Ordnung hat das Verfahren |
Hallo.
Hier die Musterlösung, die ich nicht ganz verstehe (Fragen deutlich hervorgehoben)
Verwendung des Lemmas
$G [mm] \subset \IR^2$ [/mm] offen, $f [mm] \in C^{m+1} [/mm] (G) $, $u [mm] \ge [/mm] 0$, $h = [mm] \vektor{h_1 \\ h_2} \in \IR^2$
[/mm]
[mm] D_i [/mm] entspricht der Differentiation nach der i-ten Variablen [mm] x_0, $x_0 [/mm] + h$ mitsamt der Verbindungsstrecke in G, dann gibt es ein [mm] \theta [/mm] zwsichen (0,1) mit
[mm] $f(x_0 [/mm] + h) = [mm] \sum^n_{\theta = 0} \frac{1}{\theta !} (h_1 D_1 [/mm] + [mm] h_2 D_2)^\theta f(x_0) [/mm] + [mm] \frac{1}{(\theta + 1)! } (h_1 D_1 [/mm] + [mm] h_2 D_2)^{n+1} f(x_0 [/mm] + [mm] \theta [/mm] h) $
(mit n=2)
$= [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] h_1 f_{x_1} [/mm] + [mm] h_2 f_{x_2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}(h_1^2 f_{x_1 x_1} [/mm] + [mm] 2h_1 h_2 f_{x_1 x_2} [/mm] + [mm] h_2^2 f_{x_2 x_2}) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $
wobei jeweils das Argument [mm] x_0 [/mm] weggelassen wird.
Frage
Fehlt da nicht etwas? das [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] f_(x_0 [/mm] + [mm] \theta [/mm] h) verschwindet, warum?
Also [mm] $f(t+\frac{h}{2},v(t) [/mm] + [mm] \frac{h}{2}f(t,v(t)) [/mm] $
$= f + [mm] \frac{h}{2} f_t [/mm] + [mm] \frac{h}{2} f*f_u [/mm] + [mm] \frac{1}{2}(\frac{h^2}{4} f_{t t} [/mm] + 2 [mm] \frac{h^2}{4} f_{t u} [/mm] + [mm] \frac{h^2}{4}f^2 f_{u u})+ O(h^3) [/mm] $
Frage
Warum kommt, wenn man nach u ableitet, immer ein f dazu? Also es steht ja dort, [mm] $f*f_u [/mm] $statt [mm] f_u. [/mm] Bei [mm] f_{t u} [/mm] wird ja beim zweiten Mal auch nach u abgeleitet, dort heißt es dann aber nicht $ [mm] h^2/4 [/mm] * f * [mm] f_{t u}$ [/mm]
Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
Nach Taylor ist
$ [v(t+h) - v(t)] = v'(t) + 0.5 h v''(t) + [mm] h^2/3 [/mm] * v'''(t) + [mm] O(h^3) [/mm] $
Wegen v '(t) = f(t,v(t)) folgt mit der Kettenregel
$v''(t) = [mm] \frac{d}{dt} [/mm] f(t,v(t)) = [mm] f_t [/mm] + [mm] f_u *\dot{v} [/mm] = [mm] f_t [/mm] + [mm] f_u [/mm] *f$
Frage
Hier kapiere ich überhaupt nichts mehr, wie kommt man auf die Ableitung
Auch bei der nächsten Ableitung verstehe ich nicht, wo was her kommt
$v'''(t) = [mm] \frac{d}{dt} [/mm] v''(t) = [mm] \frac{d}{dt} (f_t [/mm] + [mm] f_u [/mm] f) $
$= [mm] f_{t t} [/mm] + [mm] f_{t u} [/mm] *f + [mm] (f_{u t} [/mm] + [mm] f_{u u}*f)*f [/mm] + [mm] f_u (f_t [/mm] + [mm] f_u [/mm] f) $
$= [mm] f_{t t} [/mm] + [mm] 2f_{t u}f [/mm] + [mm] f_{u u} f^2 [/mm] + [mm] f_u (f_t [/mm] + [mm] f_u [/mm] f) $
Die letzte Umforumung kann ich natürlich nachvollziehen, Problem sind die Ableitungen.
Freue mich über jegliche Hilfe, danke im Voraus!
Zyklowa
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Hallo Zyklowa,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eigentlich eine Aufgabe in der Numerik (was ihr nicht
> können müsst), denn sie wird mit Methoden aus der Analysis
> gelöst:
>
> Ein explizites Einschrittverfahren habe die Form:
>
> [mm]y_{i+1} := y_i + h_i f(t_i + 0.5 h_i, y_i + 0.5 h_i f(t_i,y_i))[/mm]
>
> Welche Ordnung hat das Verfahren
> Hallo.
> Hier die Musterlösung, die ich nicht ganz verstehe (Fragen
> deutlich hervorgehoben)
>
> Wir verwenden den Taylorschen Satz für reellwertige
> Funktionen mehrer Veränderlicher:
>
> [mm]G \subset \IR^2[/mm] offen, [mm]f \in C^{m+1} (G) [/mm], [mm]u \ge 0[/mm], [mm]h = \vektor{h_1 \\ h_2} \in \IR^2[/mm]
>
> [mm]D_i[/mm] entspricht der Differentiation nach der i-ten Variablen
> [mm]x_0,[/mm] [mm]x_0 + h[/mm] mitsamt der Verbindungsstrecke in G, dann
> gibt es ein [mm]\theta[/mm] zwsichen (0,1) mit
>
> [mm]f(x_0 + h) = \sum^n_{\theta = 0} \frac{1}{\theta !} (h_1 D_1 + h_2 D_2)^\theta f(x_0) + \frac{1}{(\theta + 1)! } (h_1 D_1 + h_2 D_2)^{n+1} f(x_0 + \theta h)[/mm]
>
> (mit n=2)
> [mm]= f(x_0) + h_1 f_{x_1} + h_2 f_{x_2} + \frac{1}{2}(h_1^2 f_{x_1 x_1} + 2h_1 h_2 f_{x_1 x_2} + h_2^2 f_{x_2 x_2}) + O(h^3)[/mm]
>
> wobei jeweils das Argument [mm]x_0[/mm] weggelassen wird.
>
>
> Frage
> Fehlt da nicht etwas? das [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]f_(x_0[/mm] + [mm]\theta[/mm] h)
> verschwindet, warum?
Es ist
[mm](h_1 D_1 + h_2 D_2)^{3} f(x_0 + \theta h)[/mm]
[mm]=\left( h_{1}^{3} D_{1}^{3}+3h_{1}^{2}h_{2} D_{1}^{2} D_{2}+3h_{1}h_{2}^{2}D_{1}D_{2}^{2}+h_{2}^{3}D_{2}^{3}\right)f(x_0 + \theta h) \in \operatorname{O}\left(h^{3}\right)[/mm]
>
>
> Also [mm]f(t+\frac{h}{2},v(t) + \frac{h}{2}f(t,v(t))[/mm]
>
> [mm]= f + \frac{h}{2} f_t + \frac{h}{2} f*f_u + \frac{1}{2}(\frac{h^2}{4} f_{t t} + 2 \frac{h^2}{4} f_{t u} + \frac{h^2}{4}f^2 f_{u u})+ O(h^3)[/mm]
>
>
> Frage
> Warum kommt, wenn man nach u ableitet, immer ein f dazu?
> Also es steht ja dort, [mm]f*f_u [/mm]statt [mm]f_u.[/mm] Bei [mm]f_{t u}[/mm] wird ja
> beim zweiten Mal auch nach u abgeleitet, dort heißt es dann
> aber nicht [mm]h^2/4 * f * f_{t u}[/mm]
> Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
Nach der Kettenregel gilt:
[mm]\bruch{ \ df\left(t,u\left(t\right)\right) \ }{dt}=\bruch{\partial f}{\partial t}+\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{du}{dt}=f_{t}+f_{u}*u_{t}=f_{t}+f_{u}*f[/mm]
Dies nochmal mit der Kettenregel abgeleitet:
[mm]\bruch{d}{dt}\left( \ f_{t}+f_{u}*u_{t} \ \right)=\bruch{\partial}{\partial t}\left( \ f_{t}+f_{u}*u_{t} \ \right)+\bruch{\partial}{\partial u}\left( \ f_{t}+f_{u}*u_{t} \ \right) *u_t=[/mm]
[mm]=f_{tt}+f_{ut}*u_{t}+f_{u}*u_{tt}+\left( \ f_{tu} + f_{uu} u_{t} \ \right) u_{t}[/mm]
[mm]=f_{tt}+2*f_{tu}*u_{t}+f_{uu}*u_{t}^{2}+f_{u}*u_{tt}[/mm]
[mm]=f_{tt}+2*f_{tu}*f+f_{uu}*f^{2}+f_{u}*u_{tt}[/mm]
mit
[mm]u_{tt}=\bruch{d}{dt}u_{t}=\bruch{d}{dt}f\left(t,u\left(t\right)\right)=\bruch{\partial f}{\partial t}+\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{du}{dt}[/mm]
[mm]=f_{t}+f_{u}*u_{t}=f_{t}+f_{u}*f[/mm]
Weshalb in der Formel der Term [mm]f_{u}*u_{tt}[/mm] nicht erscheint,
kann ich mir nicht erklären.
>
>
> Nach Taylor ist
>
> [mm][v(t+h) - v(t)] = v'(t) + 0.5 h v''(t) + h^2/3 * v'''(t) + O(h^3)[/mm]
>
> Wegen v '(t) = f(t,v(t)) folgt mit der Kettenregel
>
> [mm]v''(t) = \frac{d}{dt} f(t,v(t)) = f_t + f_u *\dot{v} = f_t + f_u *f[/mm]
>
>
> Frage
> Hier kapiere ich überhaupt nichts mehr, wie kommt man auf
> die Ableitung
Der Beweis dieser Kettenregel erfolgt durch
zweimalige Anwendung des Mittelwertsatzes.
> Auch bei der nächsten Ableitung verstehe ich nicht, wo was
> her kommt
>
>
> [mm]v'''(t) = \frac{d}{dt} v''(t) = \frac{d}{dt} (f_t + f_u f)[/mm]
>
> [mm]= f_{t t} + f_{t u} *f + (f_{u t} + f_{u u}*f)*f + f_u (f_t + f_u f)[/mm]
>
> [mm]= f_{t t} + 2f_{t u}f + f_{u u} f^2 + f_u (f_t + f_u f)[/mm]
>
>
Hier wurde die Kettenregel nochmal angewandt:
[mm]\frac{d}{dt} (f_t + f_u f)=\bruch{\partial}{\partial t}\left( \ f_t + f_u f \ \right) + \bruch{\partial}{\partial u}\left( \ f_t + f_u f \ \right) *\bruch{du}{dt}[/mm]
[mm]=\bruch{\partial}{\partial t}\left( \ f_t + f_u f \ \right) + \bruch{\partial}{\partial u}\left( \ f_t + f_u f \ \right) *f[/mm]
>
> Die letzte Umforumung kann ich natürlich nachvollziehen,
> Problem sind die Ableitungen.
>
> Freue mich über jegliche Hilfe, danke im Voraus!
>
> Zyklowa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Zyklowa |
Hallo MathePower
Vielen Dank für deine Antwort, leider habe ich sie erst jetzt gelesen, aber du hast einen sehr guten Job gemacht. Danke.
Beim ersten Lesen habe ich noch keine Fragen und lass das jetzt so erst einmal sacken, bevor ich mich noch mal intensiv mit diesen Formeln auseinander setze.
Also noch mal vielen Dank
Grüße,
Zyklowa
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