matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und GrenzwerteTaylorpolynom
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Taylorpolynom
Taylorpolynom < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorpolynom: Korrektur,Rückfrage, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Do 26.01.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f, definiert durch f(x) = [mm] x^{2}*ln(x) [/mm]

a) Gebe das Taylorpolynom 2. Ordnung von f im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}= [/mm] 1 an.

b) Gebe mit Hilfe von a) eine Nährung von f an der Stelle [mm] \bruch{11}{10} [/mm] an und zeige, dass der Fehler höchstens [mm] \bruch{1}{3000} [/mm] beträgt.

Hallo,

hier einmal meine Lösung:

a)

f(x) = [mm] x^{2}*ln(x) \Rightarrow [/mm] 0
f´(x) = 2x*ln(x)+x [mm] \Rightarrow [/mm] 1
f´´(x) = 2ln(x)+3 [mm] \Rightarrow [/mm] 3
f´´´(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm]

[mm] T_{2}(x) [/mm] = [mm] (x-x_{0})+\bruch{3}{2}(x-x_{0})^{2} [/mm]

b)

[mm] f(\bruch{11}{10})\approx T_{2}(\bruch{11}{10}) [/mm] = [mm] (\bruch{11}{10} -1)+\bruch{3}{2}(\bruch{11}{10} -1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{23}{200} [/mm]

[mm] |T_{2}(\bruch{11}{10})-f(\bruch{11}{10})| [/mm] = [mm] |R_{2}(\bruch{11}{10})| [/mm]

[mm] R_{2}(\xi)= [/mm] $ [mm] \bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{3}\xi(x-1)^3 [/mm]

Kann man das so machen?

Fehlt da noch etwas ?



        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Do 26.01.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> f(x) = [mm]x^{2}*ln(x) \Rightarrow[/mm] 0
>  f´(x) = 2x*ln(x)+x [mm]\Rightarrow[/mm] 1
>  f´´(x) = 2ln(x)+3 [mm]\Rightarrow[/mm] 3
>  f´´´(x) = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]

Was soll das [mm] $\Rightarrow$ [/mm] immer bedeuten? Ich orakel zwar jetzt richtig, aber das solltest du besser ausformulieren!


> [mm]T_{2}(x)[/mm] = [mm](x-x_{0})+\bruch{3}{2}(x-x_{0})^{2}[/mm]

[ok]

> b)
>  
> [mm]f(\bruch{11}{10})\approx T_{2}(\bruch{11}{10})[/mm] =
> [mm](\bruch{11}{10} -1)+\bruch{3}{2}(\bruch{11}{10} -1)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{23}{200}[/mm]
>  
> [mm]|T_{2}(\bruch{11}{10})-f(\bruch{11}{10})|[/mm] =
> [mm]|R_{2}(\bruch{11}{10})|[/mm]
>  
> [mm]R_{2}(\xi)=[/mm]  [mm]\bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}\xi(x-1)^3[/mm]

Korrekt wäre wohl eher:
[mm]\bruch{1}{3\xi}(x-1)^3[/mm]
Was ist bei dir $x$, was ist $xi$?.
Du sollst den Fehler ja abschätzen, also irgendwas musst du da noch abschätzen :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

[mm] "\Rightarrow" [/mm] soll bedeuten, dass dies das Ergebnis ist, welches nach dem Einsetzen des Entwicklungspunktes herauskommt.

Ich habe dann nochmal versucht weiterzukommen:

$ [mm] R_{2}(\xi)= [/mm] $ $ [mm] \bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{3\xi}(x-x_{0})^3 [/mm] $


$ [mm] |T_{2}(\bruch{11}{10})-f(\bruch{11}{10})| [/mm] $ = $ [mm] |R_{2}(\bruch{11}{10})| [/mm] $

$ [mm] \bruch{1}{3\xi}(x-x_{0})^3 [/mm] $ = [mm] \bruch{(x-x_{0})^3}{3\xi} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{11}{10}-\bruch{10}{10})^3}{3\xi} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1}{10})^3}{3\xi} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{1000}}{3\xi} [/mm]

Nun bin ich aber unsicher, wie es weitergeht bzw. ob das überhaupt so richtig ist?




Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 So 29.01.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]"\Rightarrow"[/mm] soll bedeuten, dass dies das Ergebnis ist,
> welches nach dem Einsetzen des Entwicklungspunktes
> herauskommt.

ich weiß schon, was es bedeutet. Sauber aufgeschrieben ist das aber nicht!
Links und Rechts von einem Folgepfeil müssen jeweils Aussagen stehen.
Bei dir steht links aber eine Aussage in Form einer Gleichung und rechts nur eine reelle Zahl!

Korrekt wäre also:

$f(x) = [mm] \ldots \Rightarrow [/mm] f(1) = [mm] \ldots$ [/mm]

Denn rechts steht nun genau das: Der Funktionswert von f, wenn man 1 einsetzt!

> = [mm]\bruch{\bruch{1}{1000}}{3\xi}[/mm]

bei dem restlichen Zeug halt genauso: Inhaltlich ist das zwar richtig, aufgeschrieben geht das aber deutlich schöner!

D.h. dein Ergebnis bis hier hin ist korrekt. Überlege dir nun noch, aus welchem Intervall dein [mm] $\xi$ [/mm] kommt, dann kannst du den Ausdruck noch einmal mehr nach oben abschätzen auf einen Ausdruck ohne [mm] $\xi$ [/mm] und du bist fertig.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Hier einmal meine Idee:

$ [mm] \bruch{\bruch{1}{1000}}{3\xi} [/mm] $ ist ja meine bisherige Lösung.

Laut Aufgabenstellung soll ich doch zeigen, dass der Fehler maximal [mm] \bruch{1}{3000} [/mm] bei der Nährung aus b) beträgt.


[mm] \bruch{1}{3000} [/mm] wird der Ausdruck doch genau, wenn ich für [mm] \xi [/mm] = [mm] \bruch{10}{10} [/mm] einsetzte; das ist ja auch der Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] aus der Aufgabenstellung.

Kann man dann sagen, dass [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] \bruch{1}{10} [/mm] und [mm] \bruch{10}{10} [/mm] liegt?


Bezug
                                        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 So 29.01.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann man dann sagen, dass [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]\bruch{1}{10}[/mm] und [mm]\bruch{10}{10}[/mm] liegt?

Ja kann man das?
Du hast doch die Restgliedformel verwendet, in der das [mm] $\xi$ [/mm] plötzlich auftauchte!
Dann solltest du auch die Voraussetzungen dafür kennen.
Schlag die bitte nach und dann sage mir, was für Bedingungen an das [mm] $\xi$ [/mm] gestellt sind.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Mo 30.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Ich habe jetzt folgende Formlulierung gefunden:

[mm] \xi \in [/mm] { [mm] x_{0},x [/mm] }

Das würde für meine Aufgabe ja dann heißen: [mm] \xi \in [/mm] { 1, [mm] \bruch{11}{10} [/mm] }

Aber dann verstehe ich nicht, was ich noch machen muss, damit die Aufgabe abgeschlossen ist!

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mo 30.01.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Ich habe jetzt folgende Formlulierung gefunden:
>  
> [mm]\xi \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ [mm]x_{0},x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

Du meinst sicher  [mm]\xi \in[/mm] ( [mm]x_{0},x[/mm] )


>  
> Das würde für meine Aufgabe ja dann heißen: [mm]\xi \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ 1,

> [mm]\bruch{11}{10}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

Auch hier: [mm]\xi \in[/mm] ( 1,  [mm]\bruch{11}{10}[/mm] )


>  
> Aber dann verstehe ich nicht, was ich noch machen muss,
> damit die Aufgabe abgeschlossen ist!


Wenn $ [mm] \xi \in [/mm] $ ( 1,  $ [mm] \bruch{11}{10} [/mm] $ ) , so ist [mm] \xi [/mm] >1, also [mm] \bruch{1}{\xi}<1 [/mm] und somit

[mm] \bruch{1}{3 \xi *100}< \bruch{1}{3000} [/mm]



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]