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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Helpme |
Hallo,bin hier zum ersten aml und hoffe ihr könnt mir helfen,die vorlesungen sind nämlich so zügig,dass man kaum mitkommt.
ich will eine aufgaben lösen,schaffe es einfach nicht,vielleicht auch deswegen weil ich das thema noch nicht 100%kann/verstanden habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es sei y:IR->IR eine beliebig oft differenzierbare Funktion,die die folgende Differntialgleichung löst
[mm] y'(x)=x+(1)/(y^2(x)) [/mm] , y(0)=2
Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2.Grades von y(x) im Entwickliungspunkt x0(die null ist rechts unter dem x)=0
kann mir jmd das vielleicht erklären,erstmal vielleicht an dem bsp [mm] e^x [/mm] das n-te taylorpolynom,so dass ich es erstmal so allgemein habe?
michael
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Hallo "Helpme"
> kann mir jmd das vielleicht erklären,erstmal vielleicht an dem bsp das n-> te taylorpolynom,so dass ich es erstmal so allgemein habe?
Ja. Das ist eigentlich ziemlich intuitiv, denn mit dem "Taylorpolynom 2. Grades im Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm]" (wieder so n schönes Wort zum Angeben) ist nichts anderes gemeint, als daß man die gesuchte Funktion y im Punkt 0 durch ein Polynom 2.Grades, d.h. eine Parabel annähert.
Dazu hattet ihr sicher die Taylorformel: (sei f unendlich oft differenzierbar bei [mm]x_0[/mm])
[mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch {f^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n [/mm]
Am Bsp. von [mm]e^x[/mm] im Punkt x0 heißt das nun konkret, daß wir erstmal im Punkt 0 die 0-te Ableitung, also den Funktionswert bilden.
Der ist [mm]e^0[/mm]=1.
Glücklicherweise kennen wir bei [mm]e^x[/mm] auch alle anderen Ableitungen, überall, also auch an der Stelle [mm]x_0[/mm], die sind nämlich immer [mm]e^{x_0}=1[/mm].Wenn wir das nun in die Taylorformel einsetzen, erhalten wir:[mm]f(x)=e^x=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch {f^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch {1} {n!}x^n=1+x+\bruch{1} {2!}x^2+...[/mm], und das hattet ihr bestimmt auch schon.
Da aber eigentlich nur das Taylorpolynom 2.Grades, also eine Näherung, gefordert ist, könnten wir mit dem ausführlichen Aufschreiben auch schon nach dem [mm]x^2[/mm] aufhören.
Nun also zu der eigentlichen Aufgabe.
Hier ist es natürlich nicht ganz so einfach, weil wir keine explizite Form für y haben, aber wir können ja versuchen, den Funktionswert und die ersten beiden Ableitungen an der Stelle 0 auszurechnen, was ja für unsere Näherungsfunktion völlig ausreicht.
Der Funktionswert ist bereits gegeben, nämlich 2.
Die erste Ableitung erhalten wir einfach durch Einsetzen von x=0 in die angegebene Formel, nämlich dann 1/4.
Jetzt fehlt nur noch die 2. Ableitung zu unserem Glück.
Dazu müßten wir jetzt einfach den Ausdruck für y' ableiten und dann einsetzen.
Das kannst Du ja einfach mal probieren und dann in die Taylorformel einsetzen. Alle Terme für n>2 kannst Du dann eben weglassen, weil Du ja nur eine (zugegebenermaßen relativ schlechte) Näherung für y haben willst.
Ich hoffe, ich konnte mich verständlich ausdrücken,
wenn nicht, einfach nochmal nachfragen.
Gruß,
Christian
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