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Hallo zusammen. Ich habe mal eine wichtige Frage bezüglich der Taylorpolynome.
Angenommen die Aufgabe lautet: Bestimmen SIe das n-te Taylorpolynom der lösung folgender Anfangswertprobleme um den Entwicklungspunkt [mm] x_0.
[/mm]
a) y'(x)=y(x)+x mit der Anfangsbedingung y(0)=2 und Entwicklungspunkt [mm] x_0=0
[/mm]
b) y''(x)-y(x)=0 mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und y'(0)=1 und Entwicklungspunkt [mm] x_0=0.
[/mm]
Ich habe leider überhaupt keine Ahnungt, wie ich an solche Aufgaben rangehen soll. Könntet ihr mir bitte Helfen??? Ich danke schonmal im VOrraus. Mit freunldichen Grüßen domenigge135
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Hallo domenigge135,
> Hallo zusammen. Ich habe mal eine wichtige Frage bezüglich
> der Taylorpolynome.
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> Angenommen die Aufgabe lautet: Bestimmen SIe das n-te
> Taylorpolynom der lösung folgender Anfangswertprobleme um
> den Entwicklungspunkt [mm]x_0.[/mm]
> a) y'(x)=y(x)+x mit der Anfangsbedingung y(0)=2 und
> Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm]
> b) y''(x)-y(x)=0 mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und
> y'(0)=1 und Entwicklungspunkt [mm]x_0=0.[/mm]
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> Ich habe leider überhaupt keine Ahnungt, wie ich an solche
> Aufgaben rangehen soll. Könntet ihr mir bitte Helfen??? Ich
> danke schonmal im VOrraus. Mit freunldichen Grüßen
> domenigge135
In beiden Fällen machst den Potenzreihenansatz:
[mm]y\left(x\right)=\summe_{i=1}^{n}{a_ {i}*\left(x-x_{0}\right)^{i}}[/mm]
Im Fall a) leitest den einmal ab und setzt das dann in die DGL ein.
Der Fall b) läuft analog, nur daß Du hier zweimal ableiten mußt.
Anschließend machst einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 17.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke hier kann man das sogar noch einfach haben: zum beispiel bei a) erhält man direkt $y(0) = 2$ und $y'(0) = y(0) + 0 = 2$. durch iteriertes ableiten der differnetialgleichung erhält man [mm] $y^{(n)}(x) [/mm] = [mm] y^{(n - 1)}(x)$ [/mm] für $n [mm] \geq [/mm] 2$ und damit [mm] $y^{(n)}(0) [/mm] = 2$ für alle $n$. daraus kann man dann auch die koeffizienten der taylorpolynome berechnen. bei beliebigen differntialgleichungen sollte man aber natürlich das verfahren von MathePower anwenden.
grüße
andreas
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