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Hallo ich habe mal eine Frage zum Taylorpolynom. Die Aufgabe lautet:
Es sei [mm] f:]1,\infty[ \to \IR, f(x)=\bruch{x}{1-x}
[/mm]
(i) Berechne das Taylorpolynom 2. Grades mit Entwicklungspunkt [mm] x_0=4
[/mm]
Schritt 1: Bestimme die ersten Ableitungen, da [mm] T_2 [/mm] gesucht ist.
[mm] f(x)=\bruch{x}{1-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{(1-x)^{3}}
[/mm]
Die Ableitungen sind korrekt. Habe ich in einem vorigen thread schon geklärt.
[mm] \Rightarrow x_0=4: f(4)=-\bruch{4}{3}, f'(4)=\bruch{1}{9}, f''(4)=-\bruch{1}{27}
[/mm]
Schritt 2: Schreibe T2 formal auf
[mm] T_2(x)=\summe_{k=0}^{2}\bruch{f^k(4)}{k!}(x+4)^k \gdw T_2(x)=\bruch{f(4)}{0!}(x+4)^0+\bruch{f'(4)}{1!}(x+4)^1+\bruch{f''(4)}{2!}(x+4)^2
[/mm]
Schritt 3: einsetzen
[mm] T_2(x)=\bruch{-\bruch{4}{3}}{0!}(x+4)^0+\bruch{\bruch{1}{9}}{1!}(x+4)^1+\bruch{-\bruch{1}{27}}{2!}(x+4)^2
[/mm]
Ich erhalte somit: [mm] T_2(x)=-\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x+4)-\bruch{1}{54}(x+4)^2
[/mm]
Als nächstes soll ich das Restglied auf dem Intervall [3,5] abschätzen. Im Tutorium hatten wir irgendeinen Fehler nach oben abgeschätzt mit irgendweiner approximation. Ich weiß nicht so ganz, ob das jetzt hiern auch gefragt ist. Deshalb wollte ich fragen, ob ihr mir eventuell beim letzten Schritt helfen könntet.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 18.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib einfach das exakte Restglie hin. darin kommt ne Zwischenstelle [mm] x_z [/mm] im Intervall 3,5) vor. Jetzt musst du abschätzen, so dass das Restglied sicher kleiner gleich dem abgeschätzten Wert ist. Fast sicher ist das an der Stelle [mm] x_z=5
[/mm]
Gruss leduart
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Oh Dankeschön Al-Chwarizmi. Das stimmt natürlich ich erhalte dann auch [mm] -\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x-4)-\bruch{1}{54}(x-4)^2. [/mm] Habe Dummerweise das Vorzeichen bei der formalen schreibweise in der Klammer vertauscht.
Also gut. Dann zurück zu Schritt 1, da mir ja nun noch die 3. Ableitung fehlt.
[mm] \Rightarrow f'''(x)=\bruch{6}{(1-x)^3}
[/mm]
Aber wie gehe ich jetzt weiter vor???
MFG domenigge135
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> [mm]-\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x-4)-\bruch{1}{54}(x-4)^2.[/mm] Habe
> Dummerweise das Vorzeichen bei der formalen schreibweise in
> der Klammer vertauscht.
hast du auch den Nenner 27 statt 54 bemerkt ?
> Also gut. Dann zurück zu Schritt 1, da mir ja nun noch die
> 3. Ableitung fehlt.
>
> [mm]\Rightarrow f'''(x)=\bruch{6}{(1-x)^3}[/mm]
>
> Aber wie gehe ich jetzt weiter vor???
Zum Thema Restgliedabschätzung bei Taylorreihen gab es
schon jede Menge Diskussionen in diesem Forum. Schau
einmal dort nach: einfach "Taylor" in das Suchfeld ganz
oben rechts eingeben !
Wenn dann Fragen bleiben, helfen wir gern weiter.
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> Frage zum Taylorpolynom.
> Die Aufgabe lautet:
> Es sei [mm]f:]1,\infty[ \to \IR, f(x)=\bruch{x}{1-x}[/mm]
>
> (i) Berechne das Taylorpolynom 2. Grades mit
> Entwicklungspunkt [mm]x_0=4[/mm]
> ......
> ......
> ......
> Ich erhalte somit:
> [mm]T_2(x)=-\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x+4)-\bruch{1}{54}(x+4)^2[/mm]
>
Dieses Ergebnis stimmt nicht ganz. Es sollte lauten:
[mm]T_2(x)=-\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x-4)-\bruch{1}{27}(x-4)^2[/mm]
LG
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