Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x,y,z)=sin(x)+2yz. Bestimme [mm] T^2_{(0,1,0)}
[/mm]
und das Restglied. |
Hallo,
also mit dem Taylorpolynom habe ich keine Probleme. Hier erhalte ich [mm] T^2_{(0,1,0)}=x+2yz. [/mm]
Nun hänge ich aber an dem Restglied. Kann mir jemand hier behilflich sein.
Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]f:\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x,y,z)=sin(x)+2yz. Bestimme
> [mm]T^2_{(0,1,0)}[/mm]
> und das Restglied.
Was genau bedeutet die Notation [mm] $T^2_{(0,1,0)}$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Mo 08.02.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo felixf,
> Hallo!
>
> > [mm]f:\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x,y,z)=sin(x)+2yz. Bestimme
> > [mm]T^2_{(0,1,0)}[/mm]
> > und das Restglied.
>
> Was genau bedeutet die Notation [mm]T^2_{(0,1,0)}[/mm]?
Hier ist wohl das Taylorpolynom 2. Grades
um den Entwicklungspunkt (0,1,0) gemeint.
>
> LG Felix
>
Gruss
MathePower
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Hallo Bodo0686,
> [mm]f:\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x,y,z)=sin(x)+2yz. Bestimme
> [mm]T^2_{(0,1,0)}[/mm]
> und das Restglied.
> Hallo,
>
> also mit dem Taylorpolynom habe ich keine Probleme. Hier
> erhalte ich [mm]T^2_{(0,1,0)}=x+2yz.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun hänge ich aber an dem Restglied. Kann mir jemand hier
> behilflich sein.
Das Restglied bei 3 Variablen ergibt sich zu:
[mm]\summe_{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=m+1}^{}{\bruch{1}{\alpha_{1}!*\alpha_{2}!*\alpha_{3}!}}*\left(x-x_{0}\right)^{\alpha_{1}}*\left(y-y_{0}\right)^{\alpha_{2}}*\left(z-z_{0}\right)^{\alpha_{3}}\bruch{\partial f}{\partial x^{\alpha_{1}} \partial y^{\alpha_{2}} \partial z^{\alpha_{3}} } \left( \ x_{0}+\theta \left(x-x_{0}\right), y_{0}+\theta \left(z-z_{0}\right),z_{0}+\theta \left(z-z_{0}\right) \ \right)[/mm]
mit einer geigneten Zahl [mm]0 < \theta < 1[/mm]
und m der Grad des Taylorpolynoms.
>
> Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
ich könnte doch auch folgende Darstellung nehmen, oder?
Restglied = [mm] |f_{(x,y,z)}-T^n_{(0,1,0)}(x,y,z)|
[/mm]
Dann hätte ich:
|sin(x)+2yz - (x+2yz)| = |sin(x)-x| [mm] \leq [/mm] |sin(x)|+|-x| [mm] \leq [/mm] 1 + |x|
mit sin(x) [mm] \leq [/mm] 1 und |-x| = |x|
Bitte um Rückmeldung! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich könnte doch auch folgende Darstellung nehmen, oder?
>
> Restglied = [mm]|f_{(x,y,z)}-T^n_{(0,1,0)}(x,y,z)|[/mm]
Nein, sondern
Restglied = [mm]f_{(x,y,z)}-T^n_{(0,1,0)}(x,y,z)[/mm]
Aber das ist doch billig. Beim Satz von Taylor geht es doch darum obige Differenz darzustellen !!
FRED
>
> Dann hätte ich:
>
> |sin(x)+2yz - (x+2yz)| = |sin(x)-x| [mm]\leq[/mm] |sin(x)|+|-x| [mm]\leq[/mm]
> 1 + |x|
>
> mit sin(x) [mm]\leq[/mm] 1 und |-x| = |x|
>
> Bitte um Rückmeldung! Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also meine zweiten ableitungen waren:
f_xx = -sin(x)
f_xy=0
f_xz=0
f_yx=0
f_yy=0
f_yz=2
f_zx=0
f_zy=2
f_zz=0
Da ich ja nun die [mm] R_{(0,1,0)}^{n+1} [/mm] benötige, brauche ich die nächst höhere Ableitung. Da das Taylorpolynom bis n=2 ging brauche ich die n+1 Ableitung also die 3.
Da meine obigen Ableitungen alle zu Null werden, bis auf
f_xxx = -cos(x) bin ich doch praktisch mit den Ableitungen schon fertig!
Wie muss ich denn nun hier weitermachen?
So?
-cos(x) * ((x-0) ,(y-1), (z-0)) =
-cos(x)x
-cos(y)+cos(x)
-cos(x)z
Bitte um Hilfe! Danke
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
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> also meine zweiten ableitungen waren:
>
> f_xx = -sin(x)
> f_xy=0
> f_xz=0
>
> f_yx=0
> f_yy=0
> f_yz=2
>
> f_zx=0
> f_zy=2
> f_zz=0
>
> Da ich ja nun die [mm]R_{(0,1,0)}^{n+1}[/mm] benötige, brauche ich
> die nächst höhere Ableitung. Da das Taylorpolynom bis n=2
> ging brauche ich die n+1 Ableitung also die 3.
>
> Da meine obigen Ableitungen alle zu Null werden, bis auf
> f_xxx = -cos(x) bin ich doch praktisch mit den Ableitungen
> schon fertig!
>
> Wie muss ich denn nun hier weitermachen?
>
> So?
>
> -cos(x) * ((x-0) ,(y-1), (z-0)) =
>
> -cos(x)x
> -cos(y)+cos(x)
> -cos(x)z
Das Restglied ergibt nach der Formel zu:
[mm]\bruch{1}{3!}*\left(x-x_{0}\right)^{3}*\left(-\cos\left( \ x_{0}+\theta*\left(x-x_{0}\right) \ \right)[/mm]
Dies musst Du jetzt abschätzen.
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> Bitte um Hilfe! Danke
Gruss
MathePower
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