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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | f : (0,1) [mm] \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto \bruch{1}{\wurzel{1-x^{3}}}
[/mm]
Bestimmen sie das Taylorpolynom von Grad neun am Entwicklungspunkt 0 der Funktion. |
Ich hab mir erst mal die 9 Ableitungen aufgeschrieben (mit Hilfe eines Programms)
[mm] f^{1}= \bruch{3x^{2}}{2(1-x)^{3/2}}
[/mm]
[mm] f^{2}= \bruch{3x(5x^{3}+4)}{4(1-x^{3})^{5/2}} [/mm] .... etc....
Dann wollte ich mit der Taylorreihe anfangen :
[mm] \summe_{k=0}^{9} \bruch{f^{k}(0)}{k!} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{1-0^{3}}}}{0!} x^{0} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{3*0^{2}}{2(1-0)^{3/2}}}{1!} x^{1}....
[/mm]
Aber dann ist mir aufgefallen dass alle Ableitungen an der Stelle 0 gleich 0 sind. Also nur das erste Glied der Taylorreihe einen wert besitzt.
[mm] \summe_{k=0}^{9} \bruch{f^{k}(0)}{k!} x^{k} [/mm] = 1 + 0x + [mm] 0x^{2}+ 0x^{3} [/mm] +....+ [mm] 0x^{9} [/mm] = 1
Kann dass denn sein ?
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Hallo,
> f : (0,1) [mm]\to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto \bruch{1}{\wurzel{1-x^{3}}}[/mm]
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> Bestimmen sie das Taylorpolynom von Grad neun am
> Entwicklungspunkt 0 der Funktion.
> Ich hab mir erst mal die 9 Ableitungen aufgeschrieben (mit
> Hilfe eines Programms)
>
> [mm]f^{1}= \bruch{3x^{2}}{2(1-x)^{3/2}}[/mm]
> [mm]f^{2}= \bruch{3x(5x^{3}+4)}{4(1-x^{3})^{5/2}}[/mm]
> .... etc....
>
> Dann wollte ich mit der Taylorreihe anfangen :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{9} \bruch{f^{k}(0)}{k!} x^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{\wurzel{1-0^{3}}}}{0!} x^{0}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{3*0^{2}}{2(1-0)^{3/2}}}{1!} x^{1}....[/mm]
>
> Aber dann ist mir aufgefallen dass alle Ableitungen an der
> Stelle 0 gleich 0 sind. Also nur das erste Glied der
> Taylorreihe einen wert besitzt.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{9} \bruch{f^{k}(0)}{k!} x^{k}[/mm] = 1 + 0x +
> [mm]0x^{2}+ 0x^{3}[/mm] +....+ [mm]0x^{9}[/mm] = 1
>
> Kann dass denn sein ?
Nein, das stimmt nicht.
Ich hatte mal einen Lehrer, der hat gesagt: "Vorsicht vor Verallgemeinerungen" 
In diesem Fall hast du wahrscheinlich nur f'(x) und f''(x) betrachtet, aber nicht mehr f'''(x).
Ach so: Diese Aufgabe ist natürlich nicht so gedacht, dass du dich totrechnest. Vielmehr sollst du einen Trick erkennen:
$f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}} [/mm] = [mm] (1+(-x)^{3})^{-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] (1+y)^{-\frac{1}{2}} [/mm] = g(y)$
mit $y = [mm] (-x)^{3}$. [/mm] Nun berechne zunächst die Taylor-Reihe von g(y) bis zur Ordnung 3.
Du erhältst dann die Taylor-Reihe von f(x), indem du in die Taylor-Reihe von g(y) wieder $ y= [mm] (-x)^{3}$ [/mm] einsetzt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Wow super Danke :)
hab nun auch mein Polynom raus : 1 + [mm] \bruch{1}{2}x^{3}+ \bruch{3}{8}x^{6}+ \bruch{5}{16}x^{9}
[/mm]
Danke schön für den Tipp.
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