Taylorpolynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Do 14.03.2013 | | Autor: | redrum |
| Aufgabe | Die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] soll durch das Taylorpolynom 2. Grades und dem Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 2 angenährt werden.
a) Geben Sie das Taylorpolynom [mm] T_2 [/mm] (x) an.
b) Berechnen SIe das Restglied auf dem Intervall [1,3] |
Guten Abend,
a) habe folgendes Taylorpolynom aufgestellt:
[mm] T_2 [/mm] (x)= [mm] f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
[/mm]
[mm] T_2 [/mm] (x)= [mm] \bruch{2}{1+2}-\bruch{1}{(1+2)^2}(x-2)+\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}-\bruch{1}{5}(x-2)+\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2
[/mm]
Ist das schon die vollständige Lösung zu a)? Ich sehe keine weiteren Vereinfachungen.
b)
[mm] R_n(x,x_0)=\bruch{f^(n+1)(z)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} z\in]x_0,x[
[/mm]
[mm] R_2(x,2)=-\bruch{1(z)}{(1+x)^4)}(x-2)^3 [/mm]
Was muss ich für z bzw. für x einsetzen? Für x habe ich ja das Intervall gebeben und [mm] R_n [/mm] muss maximal werde, ich habe aber trotzdem keinen Ansatz zur Lösung.
Danke für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Fr 15.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{1+x}[/mm] soll durch das
> Taylorpolynom 2. Grades und dem Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] = 2
> angenährt werden.
>
> a) Geben Sie das Taylorpolynom [mm]T_2[/mm] (x) an.
> b) Berechnen SIe das Restglied auf dem Intervall [1,3]
> Guten Abend,
>
> a) habe folgendes Taylorpolynom aufgestellt:
>
> [mm]T_2[/mm] (x)=
> [mm]f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2[/mm]
>
> [mm]T_2[/mm] (x)=
> [mm]\bruch{2}{1+2}-\bruch{1}{(1+2)^2}(x-2)+\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2[/mm]
> [mm]=\bruch{2}{3}-\bruch{1}{5}(x-2)+\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2[/mm]
>
> Ist das schon die vollständige Lösung zu a)? Ich sehe
> keine weiteren Vereinfachungen.
Obiges ist nicht richtig. Die Koeffizienten vor (x-2) und [mm] (x-2)^2 [/mm] stimmen nicht !
>
> b)
>
> [mm]R_n(x,x_0)=\bruch{f^(n+1)(z)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} z\in]x_0,x[[/mm]
>
>
> [mm]R_2(x,2)=-\bruch{1(z)}{(1+x)^4)}(x-2)^3[/mm]
das ist wieder falsch und schlampig !
>
> Was muss ich für z bzw. für x einsetzen? Für x habe ich
> ja das Intervall gebeben und [mm]R_n[/mm] muss maximal werde, ich
> habe aber trotzdem keinen Ansatz zur Lösung.
Wie lautet die Aufgabenstellung in b) wirklich ?
FRED
>
> Danke für Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 15.03.2013 | | Autor: | redrum |
Danke,
die richtige Lösung mit geändertem Koeffizienten vor (x-2) ist natürlich:
[mm] T_2(x)=$ =\bruch{2}{3}-\bruch{1}{9}(x-2)+\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2 [/mm] $
Beim Koeffizienten vor (x-2)² sehe ich keinen Fehler,
da [mm] f''(x)=\bruch{2}{(1+x)^3} [/mm] in [mm] \bruch{f''(x_0)}{2!}((x-x_0)^2) [/mm] eingesetzt [mm] \bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2 [/mm] ist
Zu b) Da brauche ich einen Tipp was genau falsch ist, die Aufgabenstellung ist genau zitiert. Gebe aber Anmerkungen gerne an meinen Prof. weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo redrum!
> [mm]T_2(x)=[/mm][mm]=\bruch{2}{3}-\bruch{1}{9}(x-2)+\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das Minus vor dem [mm] $\bruch{1}{9}$ [/mm] ist falsch.
Und auch beim nächsten Term stimmt das Vorzeichen nicht.
> Beim Koeffizienten vor (x-2)² sehe ich keinen Fehler,
>
> da [mm]f''(x)=\bruch{2}{(1+x)^3}[/mm] in [mm]\bruch{f''(x_0)}{2!}((x-x_0)^2)[/mm] eingesetzt [mm]\bruch{1}{(1+x)^3}(x-2)^2[/mm] ist
Wie wäre es denn, mal [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ einzusetzen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 15.03.2013 | | Autor: | redrum |
Sorry, da habe ich mich wirklich ein wenig doof angestellt. Danke für die Hilfe.
Hier die korregierte Version:
$ [mm] T_2(x)= [/mm] $$ [mm] =\bruch{2}{3}+\bruch{1}{9}(x-2)-\bruch{1}{27}(x-2)^2 [/mm] $
Entsprechend habe ich die Aufgabe b) abgeändert:
$ [mm] R_n(x,x_0)=\bruch{f^(n+1)(z)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} z\in]x_0,x[ [/mm] $
$ [mm] R_2(x,2)=\bruch{1(z)}{(1+x)^4}(x-2)^3 [/mm] $
Mein Problem bleibt für b) leider bestehen
Was muss ich für z bzw. für x einsetzen? x liegt im Intervall [1,3] und z im Intervall [mm] ]x_0=2,x[ [/mm] und $ [mm] R_n [/mm] $ muss maximal werde, ich habe aber trotzdem keinen Ansatz zur Lösung.
Zeichne ich die Funktion (hoffentlich richtig) geht [mm] \limes_{n \to \pm\infty}=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Sa 16.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib erstmal R:2 richtig hin, die allg. formel ist noch richtig, was du daraus gemacht hast nicht erklärbar, dann suche das z in dem Intervall für das [mm] R_2 [/mm] maximal ist.
Gruss leduart
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