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Taylorpolynom 2. Grades: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Fr 14.01.2011
Autor: BarneyStinson

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion: f(x)=ln(1+(1/2)x)
a) Entwickeln Sie f in das Taylorpolynom zweiten Grades um x0=0

Hallo zusammen,
ich hoffe, ich habe das richtige Forum erwischt. Habe ein Problem, bei der obigen Aufgabe.
Das Ergebnis, welches bei meiner Taylorreihe rauskommen sollte, sollte ja zumindest näherungsweise 0 sein.
Mein Ergebnis nähert sich allerdings 0.242 an...

Hier meine Rechenschritte:

Ableitungen:
[mm] f(x)=ln1+(\bruch{1}{2})x [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{(2+x)} [/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{(2+x)^2} [/mm]

0 in die Ableitungen und Stammfunktion einsetzen:
f(0)=0
[mm] f'(0)=\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] f''(0)=-\bruch{1}{4} [/mm]

Nun die Entwicklung des Taylorpolynoms:
[mm] T=0+\bruch{\bruch{1}{2}}{1!}*(\bruch{1}{2}-0)+\bruch{-\bruch{1}{4}}{2!}*(-\bruch{1}{4}-0)^2 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Taylorpolynom 2. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Fr 14.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo BarneyStinson und [willkommenmr],

> Gegeben sei die Funktion: f(x)=ln(1+(1/2)x)
> a) Entwickeln Sie f in das Taylorpolynom zweiten Grades um
> x0=0
> Hallo zusammen,
> ich hoffe, ich habe das richtige Forum erwischt. Habe ein
> Problem, bei der obigen Aufgabe.
> Das Ergebnis, welches bei meiner Taylorreihe rauskommen
> sollte, sollte ja zumindest näherungsweise 0 sein. [haee]
> Mein Ergebnis nähert sich allerdings 0.242 an... [kopfkratz3]

Was meinst du damit?

>
> Hier meine Rechenschritte:
>
> Ableitungen:
> [mm]f(x)=ln\red{\left(}1+(\bruch{1}{2})x\red{\right)}[/mm] [ok]

Auf die Klammern aufpassen!

> [mm]f'(x)=\bruch{1}{(2+x)}[/mm] [ok]
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{(2+x)^2}[/mm] [ok]
>
> 0 in die Ableitungen und Stammfunktion einsetzen:
> f(0)=0 [ok]
> [mm]f'(0)=\bruch{1}{2}[/mm] [ok]
> [mm]f''(0)=-\bruch{1}{4}[/mm] [ok]
>
> Nun die Entwicklung des Taylorpolynoms:
>
> [mm]T=0+\bruch{\bruch{1}{2}}{1!}*(\red{\bruch{1}{2}}-0)+\bruch{-\bruch{1}{4}}{2!}*(\red{-\bruch{1}{4}}-0)^2[/mm]

Da muss doch jeweils [mm]\red{x}[/mm] stehen!

[mm]T_{0,2}(x)=\sum\limits_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k[/mm]

Also ergibt sich mit deiner richtigen Rechnung:

[mm]T_{0,2}(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2[/mm]

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom 2. Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Fr 14.01.2011
Autor: BarneyStinson

Ahh super!
Das erklärt natürlich einiges...

Vielen Dank!
Bezug
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