Taylorpolynom 2ten Grades < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Di 23.09.2008 | | Autor: | Amberly |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f(x) bei [mm] x0=\bruch{1}{4}
[/mm]
f(x)= [mm] xtan(\pi [/mm] x) |
| Aufgabe 2 | f(x)= [mm] \bruch{cos(3 \pi x)}{x^{2}+ \pi x + \bruch{3}{16}\pi^{2}}
[/mm]
a) Df bestimmen
b) Ableitung bestimmen
c) Gleichung der Tangenten bei x0=0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr :)
Ich bereite mich gerade auf meine Erstsemester-Matheklausur vor und habe einige Probleme mit 2 Taylorpolynomaufgaben. Andere Taylorpolynome habe ich schon bestimmt, aber bei diesen beiden bin ich ratlos. Bin für jeden Tip dankbar :)
Liebe Grüße
Amberly
Was bisher geschah:
[mm] \underline{Aufgabe 1:}
[/mm]
f(x)= [mm] xtan(\pi [/mm] x)
[mm] x_{0}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] f^{'}(x) [/mm] = [mm] tan(\pi [/mm] x) +x ( 1+ [mm] tan^{2}(\pi [/mm] x)) * [mm] \pi
[/mm]
[mm] f^{'}(x) [/mm] = [mm] tan(\pi [/mm] x) + x [mm] \pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] x [mm] tan^{2}(\pi [/mm] x)
[mm] f^{'}(x_{0}) [/mm] = [mm] tan(\bruch{ \pi }{4}) [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] + [mm] \bruch{ \pi }{4} [/mm] * [mm] tan^{2}(\bruch{ \pi }{4}) [/mm] = 1+ [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] f^{''}(x) [/mm] = [mm] (1+tan^{2}(\pi [/mm] x )) * [mm] \pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] + [mm] \pi tan^{2}(\pi [/mm] x) + [mm] \pi [/mm] x ( 2 [mm] \pi (tan(\pi [/mm] x ) + [mm] tan^{3}(\pi [/mm] x )))
[mm] f^{''}(x) [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] + 2 [mm] \pi tan^{2}(\pi [/mm] x) + 2 x [mm] \pi^{2} tan(\pi [/mm] x )+ 2 x [mm] \pi^{2} tan^{3}(\pi [/mm] x )
[mm] f^{''}(x_{0}) [/mm] = [mm] \pi^{2} [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] p_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] (1+\bruch{\pi}{2})(x+\bruch{1}{4}) [/mm] + [mm] \bruch{2\pi^{2} + 4 \pi + 1}{4}(x+\bruch{1}{4})^{2}
[/mm]
[mm] \underline{Aufgabe 2:}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{cos(3 \pi x)}{x^{2}+ \pi x + \bruch{3}{16}\pi^{2}}
[/mm]
a) Mit der P-Q-Formel berechnet:
[mm] D_{f} [/mm] = R \ [mm] \{-\bruch{3}{4} \pi , - \bruch{\pi}{4}\}
[/mm]
b)
[mm] f^{'}(x) [/mm] = [mm] \bruch{-sin(3 \pi x) * 3 \pi * (x^{2} + \pi x + \bruch{3}{16} \pi^{2}) - cos(3 \pi x) (2x + \pi)}{(x^{2} + \pi x + \bruch{3}{16} \pi^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] f^{'}(x) [/mm] = [mm] \bruch{-sin(3 \pi x) * 3 \pi }{(x^{2} + \pi x + \bruch{3}{16} \pi^{2})} [/mm] - [mm] \bruch{cos(3 \pi x) (2x + \pi)}{(x^{2} + \pi x + \bruch{3}{16} \pi^{2})^{2}}
[/mm]
c)
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{cos(3 \pi (0 + h))}{(h+\bruch{3 \pi}{4})(h+\bruch{\pi}{4})} - \bruch{1}{\bruch{3}{16} \pi^{2}}}{h} [/mm]
Wenn ich hier weiter rechne, bekomme ich dennoch nicht das h unter dem Bruch weg. Dadurch wird am Ende durch 0 geteilt. Ich denke dies ist nicht richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Di 23.09.2008 | | Autor: | Amberly |
Hallo Roadrunner,
vielen dank schonmal für deine schnelle Antwort. Ich bin froh dass die Teilaufgabe a) und b) schonmal richtig sind.
Werde gleich mal versuchen die c) mit der Punkt-Steigungsform zu berechnen.
lg,
Amberly
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Hallo,
beim Taylorpolynom muß es doch [mm] (x-\bruch{1}{4}) [/mm] heißen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Di 23.09.2008 | | Autor: | Amberly |
Hallo Angela,
ja du hast recht, habe da wohl nicht sauber von meinem Blatt abgeschrieben 
lg,
Amberly
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 23.09.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Amberly!
Ich habe auch etwas anderes für die 2. Ableitung $f''(x)_$ bzw. [mm] $f''\left(\bruch{1}{4}\right)$ [/mm] heraus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 23.09.2008 | | Autor: | Amberly |
Hallo Roadrunner,
könntest du mir sagen was du bei der zweiten Ableitung raus hast?
Ich weiß nämlich nicht wo ich einen Fehler gemacht habe.
lg,
Amberly
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Hallo Amberly,
also, m.E. stimmt deine 2.Ableitung durchaus, du hast dich nur bei der Berechnung von [mm] $f''\left(\frac{1}{4}\right)$ [/mm] irgendwie verschustert ..
Du hattest: [mm] $f''(x)=2\pi+2\pi\tan^2(\pi x)+2\pi^2x\tan(\pi x)+2\pi^2x\tan^3(\pi [/mm] x)$
Damit ist [mm] $f''\left(\frac{1}{4}\right)=2\pi+2\pi\cdot{}1^2+2\pi^2\cdot{}\frac{1}{4}\cdot{}1+2\pi^2\cdot{}\frac{1}{4}\cdot{}1^3=4\pi+\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi^2}{2}=4\pi+\pi^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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