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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 15.07.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Es gilt f(0)=0
[mm] f'(x)=1+(f(x)^{2})
[/mm]
Bestimme das Taylorpolynom 3. Grades. |
Hallo,
obige Aufgabe kam heute in meiner Analysis Klausur dran.
Wer von euch ist so gütig, und kann mir die richtige Lösung nennen?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Tausend Dank und noch einen schönen Abend!
Gruss poeddl
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Hallo poeddl,
> Es gilt f(0)=0
> [mm]f'(x)=1+(f(x)^{2})[/mm]
>
> Bestimme das Taylorpolynom 3. Grades.
> Hallo,
>
> obige Aufgabe kam heute in meiner Analysis Klausur dran.
> Wer von euch ist so gütig, und kann mir die richtige
> Lösung nennen?
Ich nehme an, die Entwicklungsstelle ist [mm]x_0=0[/mm] ...
Das kannst du schnell selber machen, ich gebe dir einen Start:
Die Formel für das TP 3.Grades kennst du sicher.
Du musst ja im Wesentlichen f und dessen Ableitungen an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] auswerten.
[mm]f(0)[/mm] hast du gegeben.
[mm]f'(0)[/mm] kannst du berechnen, hast du auch.
[mm]f''[/mm] kannst du aus [mm]f'[/mm] durch Ableiten berechnen (Kettenregel) - dann an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] auswerten.
Dann bestimme [mm]f'''[/mm] aus [mm]f''[/mm] - gleiches Prozedere ...
Versuch's mal erst selber, das kriegen wir schon gemeinsam hin ...
>
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
> Tausend Dank und noch einen schönen Abend!
>
> Gruss poeddl
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 15.07.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort.
Für f''(x) habe ich folgendes:
f''(x)=2*f(x)*f'(x)
Für f'''(x)=2f'(x)*f(x)+2f(x)*f'(x)
Ist das soweit korrekt?
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Hallo nochmal,
> Hallo!
>
> Danke erstmal für deine Antwort.
>
> Für f''(x) habe ich folgendes:
>
> f''(x)=2*f(x)*f'(x)![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für f'''(x)=2f'(x)*f(x)+2f(x)*f'(x)
Nein, Produktregel stimmt zwar, aber [mm]f'''(x)=\left[f''(x)\right]'=2\cdot{}\left[f'(x)\cdot{}f'(x)+f(x)\cdot{}f''(x)\right][/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Halb 
Nun nur noch zusammenschreiben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 15.07.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
dann sollte das Taylorpolynom
[mm] T_{3}(x)=x+\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] lauten?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> dann sollte das Taylorpolynom
> [mm]T_{3}(x)=x+\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] lauten? ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Das ist richtig!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 15.07.2013 | | Autor: | poeddl |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Mist! In der Klausur hab ich den gleichen Fehler mit dem Ableiten gemacht und daher nur x als Taylorpolynom raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Di 16.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Andere Möglichkeit:
Die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems
$ [mm] f'(x)=1+(f(x)^{2}), \quad [/mm] f(0)=0 $
ist: [mm] $f(x)=\tan(x)$.
[/mm]
Schaut man sich die Potenzreihenentwicklung von [mm] \tan [/mm] an, so sieht man: das gesuchte Polynom ist
[mm] $x+1/3x^3$.
[/mm]
FRED
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