Taylorpolynom & Restglied < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{1+x}
[/mm]
a) Taylorpolynom T2 um a=0
b) Zeigen Sie, dass für [mm] x\ge0 [/mm] gilt [mm] |R_{3}(x)|\le\bruch{5x³}{81}
[/mm]
c) Bestimmen Sie [mm] \wurzel[3]{1003} [/mm] mit 7 korrekten Dezimalstellen. (Beachten Sie dabei die Gleichung [mm] \wurzel[3]{1003}=10\wurzel[3]{1+3/1000} [/mm] |
[Uff das ist wohl was schiefgelaufen, mein Beitrag wurde gestern nicht gesendet.. hoffe es funktioniert nun]
Also Probleme bereiten mir b) und c), ich hab das mit der Restgliedabschätzung nicht verstanden.
[mm] f(x)=(1+x)^{1/3}
[/mm]
[mm] f'(x)=1/3(1+x)^{-2/3}
[/mm]
[mm] f''(x)=-2/9(1+x)^{-5/3}
[/mm]
[mm] f'''(x)=10/27(1+x)^{-8/3}
[/mm]
[mm] T_{2}(x)=1+\bruch{x}{3}-\bruch{x²}{9}
[/mm]
.. und weiter bin ich noch nicht (mit sinnvollen Lösungen) gekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du solltest doch das dritte Taylor-Ploynom aufstellen?
Um das Restglied abzuschätzten verwendest du am einfachsten die Lagrange-Form. Davon nimmst du den Betrag und versuchst es nach oben abzuschätzten.
Wo ist die Funktion denn definiert?
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Stimmt hatte nen Fehler drin, soll das Taylorpolynom 2. Grades ausrechnen.
b)
Für das Restglied brauche ich die (n+1)te Ableitung. also f'''(x).
Also das Lagrange-Restglied sieht so aus:
[mm] |R_{3}(x)|=|\bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{(1+c)^{8}}*x³| [/mm] und das soll [mm] \le\bruch{5x³}{81} [/mm] werden mit 0 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] x
-> Das ist doch gerade der Fall, wenn c=0 (damit wird der Term ja maximal), oder?
c)
-> aus [mm] \wurzel[3]{1003}= \wurzel[3]{1000(1+3/1000)}=10(1+3/1000)^{1/3} [/mm]
[-> Warum folgt hier nicht, dass [mm] x=\wurzel[3]{1002}?]
[/mm]
-> x=3/1000
Dann würde das Restglied nicht größer als [mm] 10*5*(0,003^3)/81=1,6667^{-8
}.
[/mm]
-> [mm] \wurzel[3]{1003}\approx10+(1+\bruch{1}{3}+(\bruch{3}{1000})-\bruch{1}{9}*(\bruch{3}{1000})²)=
[/mm]
10,00999 ??
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> Stimmt hatte nen Fehler drin, soll das Taylorpolynom 2.
> Grades ausrechnen.
>
> b)
> Für das Restglied brauche ich die (n+1)te Ableitung. also
> f'''(x).
> Also das Lagrange-Restglied sieht so aus:
>
> [mm]|R_{3}(x)|=|\bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{(1+c)^{8}}*x³|[/mm]
> und das soll [mm]\le\bruch{5x³}{81}[/mm] werden mit 0 [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] x
> -> Das ist doch gerade der Fall, wenn c=0 (damit wird der
> Term ja maximal), oder?
Hallo,
Dein Gedanke ist hier völlig richtig, aber Du denkst "von der falschen Seite" aus.
Es soll nicht [mm] |R_{3}(x)|\le\bruch{5x³}{81} [/mm] werden, sondern Du willst zeigen, daß es der Fall ist.
Du startest mit [mm] |R_{3}(x)| [/mm] und schätzt dies ab:
Für das Lagrangesche Restglied [mm] R_{3}(x) [/mm] gilt:
[mm] |R_{3}(x)|=|\bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{(1+c)^{8/3}}*x³|= \bruch{1}{(1+c)^{8/3}}|\bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}*x³| [/mm] für ein c mit [mm] 0\le c\le [/mm] x.
Es ist [mm] 1+c\ge [/mm] 1, daher ist [mm] \bruch{1}{(1+c)^{8/3}}\le [/mm] 1, und somit kann man Obiges abschätzen zu
[mm] ...\le |\bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}*x³| [/mm] = [mm] \bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}|x³| =\bruch{10}{27}*\bruch{1}{6}x³ [/mm]
>
> c)
> -> aus [mm]\wurzel[3]{1003}= \wurzel[3]{1000(1+3/1000)}=10(1+3/1000)^{1/3}[/mm]
> [-> Warum folgt hier nicht, dass [mm]x=\wurzel[3]{1002}?][/mm]
> -> x=3/1000
Das ist eine gute Frage.
Du hast oben mit dem 2. Taylorpolynom eine Näherung für die Funktion $ [mm] f(x)=\wurzel[3]{1+x} [/mm] $ im Bereich der Null gefunden.
Nun ist 1002 verflixt weit entfernt von 0, so daß nicht zu erwarten ist, daß das von Dir berechnete Taylorpolynom eine befriedigende Näherung ist...
(Wenn Du Zeit und Lust hast, zeichene/plotte doch mal f(x) und Dein Taylorpolynom und schau Dir die Sache an.
> Dann würde das Restglied nicht größer als
> [mm]10*5*(0,003^3)/81=1,6667^{-8
}.[/mm]
>
> ->
> [mm]\wurzel[3]{1003}\approx10*(1+\bruch{1}{3}*(\bruch{3}{1000})-\bruch{1}{9}*(\bruch{3}{1000})²)=[/mm]
> 10,00999 ??
Ja, allerdings solltest Du die 6. und 7. Stelle hinter dem Komma auch angeben!
Gruß v. Angela
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