Taylorpolynom in \IR^n < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 15.10.2008 | | Autor: | misery |
| Aufgabe | f(x,y,z) [mm] =\wurzel{4+x} e^{yz}-ln(1+x+z)*cos(y)
[/mm]
Berechnen sie das Taylorpolynom von f vom grad 2 um den Entwichlungspunkt (0,0,0). |
Im prinzip weiss ich wie es geht.
Ich habe folgende gleichung
[mm] T_{2},(0,0,0) [/mm] f(x,y,z) = [mm] f(0,0,0)+\Delta f(0,0,0)\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + 1/2 (x,y,z) Hf (0,0,0) [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
im grunde mus man nur einsetzten.
folgendes habe ich schon raus :
f(0,0,0) = 2
[mm] \Delta [/mm] f(0,0,0) = (-3/4 , 0 , 1 )
Mein problem liegt bei diesem teil der gleichung :1/2 (x,y,z) Hf (0,0,0) [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
um die Hesse-Matrix zu berechnen brauche ich ja die zweite ableitung , wenn ich diese berechnet habe,was mach ich dann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mi 15.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y,z) [mm]=\wurzel{4+x} e^{yz}-ln(1+x+z)*cos(y)[/mm]
>
> Berechnen sie das Taylorpolynom von f vom grad 2 um den
> Entwichlungspunkt (0,0,0).
> Im prinzip weiss ich wie es geht.
>
> Ich habe folgende gleichung
> [mm]T_{2},(0,0,0)[/mm] f(x,y,z) = [mm]f(0,0,0)+\Delta f(0,0,0)\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> + 1/2 (x,y,z) Hf (0,0,0) [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> im grunde mus man nur einsetzten.
>
> folgendes habe ich schon raus :
>
> f(0,0,0) = 2
> [mm]\Delta[/mm] f(0,0,0) = (-3/4 , 0 , 1 )
>
> Mein problem liegt bei diesem teil der gleichung :1/2
> (x,y,z) Hf (0,0,0) [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> um die Hesse-Matrix zu berechnen brauche ich ja die zweite
> ableitung , wenn ich diese berechnet habe,was mach ich
> dann?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Die Hessematrix ist eine 3x3-Matrix.
(x,y,z) Hf (0,0,0) $ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $ berechnest Du so:
Bilde das übliche Matrix-Vektorprodukt [mm] Hf(0,0,0)\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Das Ergebnis ist ein Vektor. Diesen multiplizierst Du mit (x,y,z) (Skalarprodukt)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 15.10.2008 | | Autor: | misery |
an der stelle 11 der matrix steht ja die zweite ableitung von x , kann mir jmd sagen ob ich richtig abgeleitet habe :
-1 / [mm] (4*\wurzel[4]{4+0}) *e^{yz}+ 1/(1+x+z)^2*cos(y)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 15.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> an der stelle 11 der matrix steht ja die zweite ableitung
> von x , kann mir jmd sagen ob ich richtig abgeleitet habe
> :
>
> -1 / [mm](4*\wurzel[4]{4+0}) *e^{yz}+ 1/(1+x+z)^2*cos(y)[/mm]
Das ist falsch
[mm] ........(4*\wurzel[4]{4+0}) [/mm] ...... ist völliger Murks.
Wie kommst Du darauf ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 15.10.2008 | | Autor: | misery |
ich habe mir gedacht dass
[mm] 1/(2\wurzel{4+x} [/mm] = 1/2 * [mm] (4+x)^{-1/2}
[/mm]
das habe ich abgeleitet :
-1/2*1/2 * [mm] (4+x)^{-1}
[/mm]
= -1/(4(4+x))
ist das jetzt so richtig ?
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Hallo misery!
Das stimmt so nicht. Du musst den Exponenten [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] um 1 erniedrigen.
Dabei erhält man: [mm] $-\bruch{1}{2}-1 [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 15.10.2008 | | Autor: | misery |
[mm] 1/(4\wurzel[3]{(4+x)^2}
[/mm]
stimmts jetzt so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mi 15.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]1/(4\wurzel[3]{(4+x)^2}[/mm]1
>
> stimmts jetzt so?
Nein.
die 1, Ableitung war [mm] (1/2)(4+x)^{-1/2}
[/mm]
Das diff. wir nach x und bekommen:
[mm] \bruch{1}{2}(-\bruch{1}{2})(4+x)^{-3/2} =(-\bruch{1}{4})\bruch{1}{(4+x)^{3/2}}
[/mm]
FRED
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