Taylorpolynom mehrdimensional < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Pikhand |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm] (P_3f)_x_0(h) [/mm] für die Funktion:
f: [mm] R^2->R, f(x,y)=e^{x}cos(\pi(x+2y))+x+1 [/mm] an der Stelle [mm] x_0= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo zusammen,
wie taylort man denn überhaupt mehrdimensional?
Vielen Dank,
Steffen
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Hallo,
im Prinzip ersetzt du die Ableitung nur durch den Nabla-Operator und benutzt halt Vektoren.
Allgemein: [mm]T_{\vec{\xi}; n} (\vec{x}) = \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}*\left[ \left(\vec{x} - \vec{\xi} \right)*\nabla \right]^k*f(\vec{\xi}) [/mm]
Für das Taylor-Polynom zweiten Grades ergibt sich dann mit ein bisschen Rechnung:
[mm]f(\vec{x}) = f(\vec{\xi}) + (\vec{x}-\vec{\xi})\nabla f(\vec{\xi}) + \bruch{1}{2}*((\vec{x}-\vec{\xi})^T*H_f(\vec{\xi})*(\vec{x}-\vec{\xi}))[/mm]
Da steckt die Hesse-Matrix drin, und mit dem letzten Term kannst du dann auch Aussagen über Extremwerte gewinnen.
Anmerkung: Ich habe das Restglied jeweils weggelassen.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Pikhand |
Vielen Dank erst mal, grundsätzlich gefällt mir die Rechenvorschrift, aber woher kommt der transponierte Term?
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Das ist nur die "saubere" Formulierung. Im zweiten Näherungsterm steht ja das Quadrat dieser Differenz [mm] (x-\xi) [/mm] und des Nabla-Operators. Wenn man das jetzt unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Multiplikationen ordentlich umformt, muss man streng genommen diesen Differenzvektor als transponierten Vektor schreiben. Sonst klappt das mit der Multiplikation des Vektors von links an eine Matrix nicht mehr. Streng genommen könnte man das bei der Skalarmultiplikation ja auch schon so aufschreiben:
Statt [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} * \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}[/mm] müsste man als Matrixmultiplikation schreiben: [mm] ( x_1, x_2, x_3) * \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}[/mm]. Übrig bleibt eine 1x1 Matrix  .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Pikhand |
Ah, ok,
vielen Dank :)
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