Taylorpolynom mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom in den Variablen x, y der Funktion
f: [mm] \IR^{2} \to \IR, f(x,y)=e^{\frac{x}{2+y}} [/mm] im Punkt (0,0) |
Hallo.
Obige Aufgabe soll gelöst werden.
Mein Ansatz bezieht sich auf eine Formel aus unserem Skript.
[mm] f({\bf x})=f({\bf\hat{x}})+\nabla {\bf \hat{x}} \cdot ({\bf x}-{\bf x})
[/mm]
Rechnung:
[mm] \nabla f({\bf x})=\vektor{\frac{1}{2+y}\cdot e^{\frac{x}{2+y}}\\ -\frac{x}{(2+y)^{2}}\cdot e^{\frac{x}{2+y}}}
[/mm]
[mm] f(0,0)=\vektor{\frac{1}{2}\\0}
[/mm]
Für die oben gegeben Formel folgt daraus:
[mm] f({\bf x})=1 [/mm] + [mm] \vektor{\frac{1}{2}\\0}\cdot (\vektor{x\\y}-\vektor{0\\0})=1+\frac{1}{2} [/mm] x
Ist die Lösung so richtig?
Nach der E-Platform soll eine Gleichung mit folgendem Muster drankommen:
[mm] f({\bf x})=a [/mm] + bx + cy + dxy
Wobei a , b , c ,d einzusetzen sind und nach meiner Rechnung:
a=1
[mm] b=\frac{1}{2}
[/mm]
c=0
d=0
Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
Grüße
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom in den Variablen x,
> y der Funktion
>
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR, f(x,y)=e^{\frac{x}{2+y}}[/mm] im Punkt
> (0,0)
> Hallo.
>
> Obige Aufgabe soll gelöst werden.
> Mein Ansatz bezieht sich auf eine Formel aus unserem
> Skript.
>
> [mm]f({\bf x})=f({\bf\hat{x}})+\nabla {\bf \hat{x}} \cdot ({\bf x}-{\bf x})[/mm]
Das ist eine sog. Tagentialebene, also die erste lineare Approximation und streng genommen noch kein Taylorpolynom, sondern gerade mal das Taylorpolynom ersten Grades. Aber wenn du diese Formel benutzten sollst, ist alles korrekt.
>
> Rechnung:
> [mm]\nabla f({\bf x})=\vektor{\frac{1}{2+y}\cdot e^{\frac{x}
>{2+y}}\\ -\frac{x}{(2+y)^{2}}\cdot e^{\frac{x}{2+y}}}[/mm]
Diesen Gradienten erhalte ich auch
>
> [mm]f(0,0)=\vektor{\frac{1}{2}\\0}[/mm]
>
Hier fehlt [mm] $\nabla$. [/mm] Sonst korrekt.
> Für die oben gegeben Formel folgt daraus:
>
> [mm]f({\bf x})=1[/mm] + [mm]\vektor{\frac{1}{2}\\0}\cdot (\vektor{x\\y}-\vektor{0\\0})=1+\frac{1}{2}[/mm] > x
> Ist die Lösung so richtig?
Sieht gut aus, ja.
> Nach der E-Platform soll eine Gleichung mit folgendem
> Muster drankommen:
> [mm]f({\bf x})=a[/mm] + bx + cy + dxy
Wei0 nicht genau, was das sein soll, zumal du wohl f(x,y) meinst. Eine Ebenengleichung hat immer die Form: ax+by+cz=d. Betrachten wir f(x,y) als z, so hast du mit deiner Lösung eine Ebenengleichung:
[mm] $f(x,y)=1+\bruch{1}{2}x \Rightarrow -\bruch{1}{2}x+z=1$
[/mm]
>
> Wobei a , b , c ,d einzusetzen sind und nach meiner
> Rechnung:
> a=1
> [mm]b=\frac{1}{2}[/mm]
> c=0
> d=0
>
> Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo.
Danke für die Kontrolle.
Ich meinte f(x,y) und dachte, dass ich es ebenso als [mm] f({\bf x}) [/mm] ausdrücken kann wegen [mm] {\bf x}=\vektor{x\\y}^{T}=(x,y)
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Adamantin |
Ah wahr wohl zu spät, das Fettgedruckte als Vektor ist ok, natürlich geht das, wenn du damit einen Vektor meinst ;) Kein Thema, dann war alles korrekt. Irritiert nur, wenn man zuerst mit f(x,y) arbeitet ;)
EDIT: Das hatte ich dir gar nicht angekreidet, dazu habe ich auch nichts gesagt, es fehlte nur bei f(0,0) das Nabla davor ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo.
Nochmals danke für die Antwort :)
Ich hoffe nicht, dass meine Aussagen oder Antworten negativ rüberkommen.
Die Hilfe hier ist einfach super und verständlich erklärt. Sobald ich intensiver mit Mathe beschäftigen kann und mir sicher bin, dass meine Antworten dann auch anderen helfen, nehme ich mir vor auch mitzuhelfen. Bis dahin, stelle ich aber erstmal Fragen und lese mit^^.
Grüße
|
|
|
|
