Taylorpolynom sinh(x) + Restgl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Di 04.06.2013 | | Autor: | DownJoes |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4.Grades von f(x)=sinh(x) um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0.
[/mm]
Schätzen sie sinh(1) nach oben und unten ab. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich würde gerne wissen ob die Lösung die ich errechnet habe inclusive Lösungsweg, so richtig ist.
Und zwar habe ich zuerst f(x) 5 mal abgeleitet (4x für das Taylorpolynom, 5x für das Restglied später) und danach [mm] x_{0}=0 [/mm] eingesetzt um die Funktionswerte zu erhalten.
Also:
[mm] f(x_{0})=sinh(0)=0
[/mm]
[mm] f'(x_{0})=cosh(0)=1
[/mm]
[mm] f''(x_{0}=sinh(0)=0
[/mm]
[mm] f'''(x_{0})=cosh(0)=1
[/mm]
[mm] f^{4}(x_{0})=sinh(0)=0
[/mm]
[mm] f^{5}(x_{0})=cosh(0)=1
[/mm]
Diese Werte dann in die Taylorreihe eingesetzt, bringt mich dann zu der Lösung:
[mm] T_{4}\approx x+1/6x^3 [/mm]
(Ich verzichte hierbei auf das =-Zeichen und setzte ein [mm] \approx-Zeichen, [/mm] weil ja die Funktion nur angenährt ist. Wenn ich das Restglied dazuschreiben würde, wäre es Gleich!?)
Für das Restglied habe ich folgende Formel benutzt:
[mm] |R_{n}|\le [/mm] max. [mm] |f^{n+1}(x_{1})|*\bruch{|x-x_{0}|^{n+1}}{n!} [/mm] (Lagrange)
Also jetzt die 5 Ableitung eingesetzt und als Intervall [0,1] -> [mm] x_{1} [/mm] muss also zwischen 0 und 1 liegen.
[mm] |R_{4}|\le [/mm] max. [mm] |cosh(x_{1})| [/mm] * [mm] \bruch{|x|^{5}}{5!}
[/mm]
Für die Obere Grenze werden [mm] x_{1} [/mm] & x so gewählt, dass ihr Ergebnis maximal wird. [mm] x_{1}=1 [/mm] ; x=1
[mm] \le \bruch{cosh(1)}{5!} [/mm] = 0,012859 ->Maximaler Fehler (?!)
Für die Untere Grenze gilt dann analog zur Oberen Grenze, dass [mm] x_{1} [/mm] & x so gewählt werden, dass der kleinste mögliche Fehler herrauskommt.
Also:
[mm] \le [/mm] cosh(0) * [mm] \bruch{0}{5!} [/mm] = 0 ->Minimaler Fehler (?!)
Ist dies so korrekt? Gerade bei der Unteren Grenze kommt es mir Spanisch vor, dass sie 0 ist.
LG,
Jonas
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Hallo DownJoes,
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4.Grades von f(x)=sinh(x)
> um den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0.[/mm]
> Schätzen sie sinh(1) nach oben und unten ab.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Ich würde gerne wissen ob die Lösung die ich errechnet
> habe inclusive Lösungsweg, so richtig ist.
>
> Und zwar habe ich zuerst f(x) 5 mal abgeleitet (4x für das
> Taylorpolynom, 5x für das Restglied später) und danach
> [mm]x_{0}=0[/mm] eingesetzt um die Funktionswerte zu erhalten.
> Also:
>
> [mm]f(x_{0})=sinh(0)=0[/mm]
> [mm]f'(x_{0})=cosh(0)=1[/mm]
> [mm]f''(x_{0}=sinh(0)=0[/mm]
> [mm]f'''(x_{0})=cosh(0)=1[/mm]
> [mm]f^{4}(x_{0})=sinh(0)=0[/mm]
> [mm]f^{5}(x_{0})=cosh(0)=1[/mm]
>
>
> Diese Werte dann in die Taylorreihe eingesetzt, bringt mich
> dann zu der Lösung:
>
> [mm]T_{4}\approx x+1/6x^3[/mm]
>
Hier kannst Du schon "=" schreiben.
> (Ich verzichte hierbei auf das =-Zeichen und setzte ein
> [mm]\approx-Zeichen,[/mm] weil ja die Funktion nur angenährt ist.
> Wenn ich das Restglied dazuschreiben würde, wäre es
> Gleich!?)
>
Ungefähr kannst Du duch nur schreiben,
wenn Du dieses Taylorpolynom mit der Funktion vergleichst:
[mm]\sinh}\left(x\right) \approx T_{4}\left(x}\right)[/mm]
Die Gleichheit gilt dann wieder, wenn Du das Restglied hinzunimmst.
> Für das Restglied habe ich folgende Formel benutzt:
>
> [mm]|R_{n}|\le[/mm] max.
> [mm]|f^{n+1}(x_{1})|*\bruch{|x-x_{0}|^{n+1}}{n!}[/mm] (Lagrange)
>
> Also jetzt die 5 Ableitung eingesetzt und als Intervall
> [0,1] -> [mm]x_{1}[/mm] muss also zwischen 0 und 1 liegen.
>
> [mm]|R_{4}|\le[/mm] max. [mm]|cosh(x_{1})|[/mm] * [mm]\bruch{|x|^{5}}{5!}[/mm]
>
> Für die Obere Grenze werden [mm]x_{1}[/mm] & x so gewählt, dass
> ihr Ergebnis maximal wird. [mm]x_{1}=1[/mm] ; x=1
>
> [mm]\le \bruch{cosh(1)}{5!}[/mm] = 0,012859 ->Maximaler Fehler (?!)
>
> Für die Untere Grenze gilt dann analog zur Oberen Grenze,
> dass [mm]x_{1}[/mm] & x so gewählt werden, dass der kleinste
> mögliche Fehler herrauskommt.
>
> Also:
> [mm]\le[/mm] cosh(0) * [mm]\bruch{0}{5!}[/mm] = 0 ->Minimaler Fehler (?!)
>
> Ist dies so korrekt? Gerade bei der Unteren Grenze kommt es
> mir Spanisch vor, dass sie 0 ist.
>
Es muss doch hier stehen:
[mm]T_{4}\left(1\right) - \bruch{cosh(1)}{5!} \le \sinh\left(1\right) \le T_{4}\left(1\right) + \bruch{cosh(1)}{5!}[/mm]
> LG,
>
> Jonas
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 04.06.2013 | | Autor: | DownJoes |
> Es muss doch hier stehen:
>
> [mm]T_{4}\left(1\right) - \bruch{cosh(1)}{5!} \le \sinh\left(1\right) \le T_{4}\left(1\right) + \bruch{cosh(1)}{5!}[/mm]
>
> Gruss
> MathePower
Ja du hast recht. Wenn Ich darüber nachdenke, macht das so mehr Sinn. Die [mm] \pm [/mm] max. Abweichung haben wir ja errechnet.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe,
Jonas
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