Taylorpolynom u. Lagr. Restgl. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
gegeben ist [mm] f(x)=e^{-x^{2}} [/mm] und wir sollen das 3. Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt a=0 bestimmen.
Nun möchte ich auch das Lagrange'sche Restglied abschätzen und bin bei dem durchgehen der Übungsaufgabe die wir zusammen erarbeitet hatten auf einen Punkt gestoßen den ich nicht ganz verstehe.
Wenn ich das Lagrange'sche Restglied abschätzen möchte habe ich :
[mm] \bruch{|f^{(4)}(\alpha)|}{60}
[/mm]
mit
[mm] f''''(x)=e^{-x^{2}}(16x^{4}-48x^{2}+12)
[/mm]
Nun möchte ich nach oben abschätzen. Mein Übungsleiter hat dafür 0 gewählt und erhält somit :
[mm] \bruch{|f''''(\alpha)|}{{60}} \le \bruch{|f''''(0)|}{{60}} [/mm] = [mm] \bruch{12}{60}=\bruch{1}{5}
[/mm]
Wieso setze ich hier die 0 ein ? [mm] \alpha [/mm] ist ja ein Wert zwischen x und [mm] x_{0}. x_{0} [/mm] ist ja gerade mein Entwicklungspunkt a=0, doch was ist x?
Wieso setze ich hier 0 ein? Ich weiß, dass man den Fehler maximal abschätzen will. Doch woher weiß ich zwischen welchen Werten ich eine Zahl suchen soll, bei der der Fehler maximal wird?
Edit : Evtl. liegt es daran, dass die [mm] e^{-x^{2}} [/mm] streng monoton wachsend und mein Entwicklungspunkt a:=0 das größtmögliche ist. Doch wenn ich kein [mm] e^{x} [/mm] hab, wie kann ich an das x gelangen, damit ich weiß, zwischen welchen Werten ich "suchen" muss?
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> Hallo,
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> gegeben ist [mm]f(x)=e^{-x^{2}}[/mm] und wir sollen das 3.
> Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt a=0 bestimmen.
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> Nun möchte ich auch das Lagrange'sche Restglied
> abschätzen und bin bei dem durchgehen der Übungsaufgabe
> die wir zusammen erarbeitet hatten auf einen Punkt
> gestoßen den ich nicht ganz verstehe.
>
> Wenn ich das Lagrange'sche Restglied abschätzen möchte
> habe ich :
>
> [mm]\bruch{|f^{(4)}(\alpha)|}{60}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]f''''(x)=e^{-x^{2}}(16x^{4}-48x^{2}+12)[/mm]
>
> Nun möchte ich nach oben abschätzen. Mein Übungsleiter
> hat dafür 0 gewählt und erhält somit :
>
> [mm]\bruch{|f''''(\alpha)|}{{60}} \le \bruch{|f''''(0)|}{{60}}[/mm]
> = [mm]\bruch{12}{60}=\bruch{1}{5}[/mm]
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> Wieso setze ich hier die 0 ein ? [mm]\alpha[/mm] ist ja ein Wert
> zwischen x und [mm]x_{0}. x_{0}[/mm] ist ja gerade mein
> Entwicklungspunkt a=0, doch was ist x?
>
> Wieso setze ich hier 0 ein? Ich weiß, dass man den Fehler
> maximal abschätzen will. Doch woher weiß ich zwischen
> welchen Werten ich eine Zahl suchen soll, bei der der
> Fehler maximal wird?
>
> Edit : Evtl. liegt es daran, dass die [mm]e^{-x^{2}}[/mm] streng
> monoton wachsend ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
... das stimmt aber überhaupt nicht !
> und mein Entwicklungspunkt a:=0 das
> größtmögliche ist. Doch wenn ich kein [mm]e^{x}[/mm] hab, wie
> kann ich an das x gelangen, damit ich weiß, zwischen
> welchen Werten ich "suchen" muss?
Hallo Alfonso,
um hier zu einer gültigen Abschätzung zu kommen, muss man
sich mit der Funktion f'''' etwas näher auseinandersetzen. Es
handelt sich dabei um eine gerade Funktion, die tatsächlich
an der Stelle x=0 mit f''''(0)=12 ihren dem Betrag nach größten
Wert annimmt. Man kommt also wohl kaum um eine kurze
Kurvendiskussion dieser vierten Ableitungsfunktion aus.
Tipp: lass dir diese vierte Ableitungsfunktion zunächst
einmal plotten. Zum Beispiel mit Wolfram:
![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha
LG
Al-Chwarizmi
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Jetzt sehe ich es auch geplottet, aber wie soll ich es in der Klausur machen? Ich kann ja schlecht die Hochpunkte berechnen, wobei die Zeit schon so relativ knapp sein sollte :/
Und woher kann ich herausfinden zwischen welchen x und meinem [mm] x_{0} [/mm] suchen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 So 20.07.2014 | | Autor: | abakus |
> Jetzt sehe ich es auch geplottet, aber wie soll ich es in
> der Klausur machen? Ich kann ja schlecht die Hochpunkte
> berechnen, wobei die Zeit schon so relativ knapp sein
> sollte :/
>
> Und woher kann ich herausfinden zwischen welchen x und
> meinem [mm]x_{0}[/mm] suchen soll?
Hallo,
das es sich um ein Polynom 4. Grades mit ausschließlich geraden Exponenten handelt, ist schon mal die Symmetrie bezüglich der y-Achse sicher, damit liegt außerdem an der Stelle x=0 ein Extremum vor. Ob es sich dabei um ein Minimum oder Maximum handelt, lässt sich mit der zweiten Ableitung dieses Polynoms 4. Grades an der Stelle x=0 ermitteln.
Gruß Abakus
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> > Jetzt sehe ich es auch geplottet, aber wie soll ich es in
> > der Klausur machen? Ich kann ja schlecht die Hochpunkte
> > berechnen, wobei die Zeit schon so relativ knapp sein
> > sollte :/
> >
> > Und woher kann ich herausfinden zwischen welchen x und
> > meinem [mm]x_{0}[/mm] suchen soll?
> Hallo,
> das es sich um ein Polynom 4. Grades mit ausschließlich
> geraden Exponenten handelt, ist schon mal die Symmetrie
> bezüglich der y-Achse sicher, damit liegt außerdem an der
> Stelle x=0 ein Extremum vor. Ob es sich dabei um ein
> Minimum oder Maximum handelt, lässt sich mit der zweiten
> Ableitung dieses Polynoms 4. Grades an der Stelle x=0
> ermitteln.
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
um sicherzustellen, dass bei x=0 wirklich schon das
globale Maximum von [mm] |f^{4}(x)| [/mm] vorliegt, wären schon
noch gewisse weitere Punkte abzuklären, nämlich:
1.) [mm] $\limes_{}f^{(4)}(x)\ [/mm] =\ 0$
2.) $\ [mm] f^{(4)}(x_1)\ \le\ f^{(4)}(0)$ [/mm] für dasjenige $\ [mm] x_1$ [/mm] mit $\ [mm] x_1>0$ [/mm] und $\ [mm] f^{(5)}(x_1)\ [/mm] =\ 0$
Ohne Hilfsmittel wie z.B. GTR erfordert dies schon
einen gewissen Zeitaufwand.
Allerdings finde ich nicht, dass es Aufgabe des Mathe-
raums sein sollte, Nutzern Tipps für zeitoptimierte
Strategien im Stress von Prüfungssituationen anzubieten.
LG , Al-Chw.
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