Taylorpolynom und Schranke < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
f(x) = [mm] \bruch{2}{1+\bruch{x}{4}}
[/mm]
[mm] f^{k}(x)=(-1)^{k}*\bruch{8k!}{(4+x)^{k+1}}
[/mm]
Man bestimme das Taylorpolynom 2. Ordnung im Entwicklunspunkt [mm] x_{0}=2 [/mm] und gebe eine Schranke des Fehlers [mm] |f(x)-T_{2}f(x)| [/mm] für x [mm] \varepsilon [/mm] [0,4] an. |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit Taylorpolynomen und habe oben genannte Aufgabe versucht zu lösen. Leider habe ich keine Lösung und würde euch daher um Korrektur bitten.
Als erstes habe ich das Taylorpolynom 2. Ordnung bestimmt:
[mm] T_{2}f(x)=\bruch{4}{3}-\bruch{8}{(4+2)^{2}}(x-2)+0.5*\bruch{16}{(4+2)^{3}}(x-2)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{27}x^{2}-\bruch{8}{27}x+\bruch{52}{27}
[/mm]
So - dann hab ich einfach mal [mm] |f(0)-T_{2}f(0)| (=\bruch{2}{27}) [/mm] und [mm] |f(4)-T_{2}f(4)| (=\bruch{1}{3}) [/mm] verglichen. Somit wäre aus meiner Sicht die Schranke des Fehlers [mm] \bruch{1}{3}. [/mm]
Stimmt das? Irgendwie muss man doch ziemlich oft was mit Restglied nach Lagrange machen. Ich bin bei den ganzen Aufgaben aber noch etwas verwirrt und versuche mich nun mal Stück für Stück einzuarbeiten.
Ich bitte euch daher im Richtigstellung,
Vielen Dank,
Grüße Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben:
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> f(x) = [mm]\bruch{2}{1+\bruch{x}{4}}[/mm]
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> [mm]f^{k}(x)=(-1)^{k}*\bruch{8k!}{(4+x)^{k+1}}[/mm]
>
> Man bestimme das Taylorpolynom 2. Ordnung im
> Entwicklunspunkt [mm]x_{0}=2[/mm] und gebe eine Schranke des Fehlers
> [mm]|f(x)-T_{2}f(x)|[/mm] für x [mm]\varepsilon[/mm] [0,4] an.
> Hallo zusammen,
>
> ich beschäftige mich gerade mit Taylorpolynomen und habe
> oben genannte Aufgabe versucht zu lösen. Leider habe ich
> keine Lösung und würde euch daher um Korrektur bitten.
>
> Als erstes habe ich das Taylorpolynom 2. Ordnung bestimmt:
>
> [mm]T_{2}f(x)=\bruch{4}{3}-\bruch{8}{(4+2)^{2}}(x-2)+0.5*\bruch{16}{(4+2)^{3}}(x-2)^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{27}x^{2}-\bruch{8}{27}x+\bruch{52}{27}[/mm]
>
> So - dann hab ich einfach mal [mm]|f(0)-T_{2}f(0)| (=\bruch{2}{27})[/mm]
> und [mm]|f(4)-T_{2}f(4)| (=\bruch{1}{3})[/mm] verglichen. Somit wäre
> aus meiner Sicht die Schranke des Fehlers [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
Da machstDu es Dir zu einfach !
> Stimmt das? Irgendwie muss man doch ziemlich oft was mit
> Restglied nach Lagrange machen. Ich bin bei den ganzen
> Aufgaben aber noch etwas verwirrt und versuche mich nun mal
> Stück für Stück einzuarbeiten.
Schreib mal $ [mm] |f(x)-T_{2}f(x)| [/mm] $ mit Hilfe des Restgliedes hin und schätze das ganze für x [mm] \in [/mm] [0,4] ab.
(Ich komme auf $ [mm] |f(x)-T_{2}f(x)| [/mm] $ [mm] \le [/mm] 1/16 für diese x (ohne Gewähr))
Edit:
$ [mm] |f(x)-T_{2}f(x)| [/mm] $ [mm] \le [/mm] 1/4
FRED
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> Ich bitte euch daher im Richtigstellung,
> Vielen Dank,
> Grüße Johannes
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Fred,
ok - schade. Dann habe ich es hier mal (nach bestem Gewissen, habs vorher noch nie gemacht) mit dem Restglied versucht:
R = [mm] \bruch{f^{3}(\nu)}{3!}(x-x_{0})^{3} [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{48}{(4+\nu)^{4}}}{6}(x-2)^{3}
[/mm]
Dann (so wie ich es verstanden habe) befindet sich mein [mm] \nu [/mm] zwischen 0 und [mm] x_{0}
[/mm]
Das Restglied wir maximal, wenn [mm] (4+\nu)^{4} [/mm] minimal wird - und das ist bei [mm] x=\nu=0
[/mm]
=> R = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Stimmt das so? Wäre aber leider nicht gleich mit deinem Ergebnis...
Grüße Johannes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast recht : |R| [mm] \le [/mm] 1/4 für x [mm] \in [/mm] [0,4]
FRED
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| Aufgabe | Gegeben: Reaktionsgleichung n(t) = [mm] n_{0}*e^{-\lambda*(t-t_{0})}
[/mm]
[mm] t_{0} [/mm] = 1, [mm] |\Delta t_{0}| \le 10^{-3}, \lambda [/mm] = 2, Meßfehler [mm] |\Delta\lambda| \le 10^{-2}, [/mm] Meßfehler in t und [mm] n_{0} [/mm] sind vernachlässigbar;
Schätzen sie in linearer Näherung den Fehler [mm] |\Deltan(3)| [/mm] ab, den man zur Zeit t=3 zu erwarten hat. |
OK, dann habe ich diesen Aufgabentyp hoffentlich verstanden.
Oben habe ich noch ein anderer (ich schreibe diese Frage jetzt einfach mal hier dazu) Aufgabe. Meine Lösung:
Taylorpolynom erster Ordnung:
[mm] T_{1} [/mm] = [mm] n_{0}*e^{-4}-2n_{0}*e^{-4}(\lambda-2)+2n_{0}*e^{-4}(t_{0}-1)
[/mm]
Dann ziehe ich [mm] n_{0}*e^{-4} [/mm] auf die linke Seite, ersetze mein [mm] (\lambda-2) [/mm] durch [mm] 10^{-2} [/mm] und das [mm] (t_{0}-1) [/mm] durch [mm] 10^{-3} [/mm] und schon habe ich mein Delta von:
[mm] \Delta [/mm] = [mm] -2n_{0}*e^{-4}10^{-2}+2n_{0}*e^{-4}10^{-3}
[/mm]
Hab ich das richtig gemacht oder muss ich das auch irgendwie mit Restglied lösen?
Grüße Johannes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Fr 27.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Den Fehler 1. Ordnung schaetzt man mit [mm] df/d\lambda*\Delta \lamba+df/dt_0*\Delta t_o [/mm] ab. nicht mit dem taylorpolynom.
Gruss leduart
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Hey Leduart,
ich lehne mich für mein Wissen jetzt weit aus dem Fenster, aber ist das im Endeffekt nicht das gleiche? Deine Aussage ist doch nix anderes als grad f(x, [mm] \lambda) [/mm] * [mm] (\vec{a}-\vec{a}_{0})? [/mm] (Wobei [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda \\ x}). [/mm] Ich habe also im Endeffekt nichts anderes gemacht...seh ich was total falsch?
Grüße Johannes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Fr 27.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hatte bei Taylor nicht genau hingesehen.
Aber fuer die beiden anteile musst du den Betrag nehmen (was ich bei mir auch weggelassen hatte!), dann ist es richtig.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Gegeben: f(x,y) = [mm] e^{xy^{2}}-1, [/mm] |x-1| <= 0.1, |y| <= 1
Man bestimme erstes nicht verschwindendes Glied der Taylorformel mit dem Entwicklungspunkt (x,y) = (1,0) und schätze den Maximalfehler aus dem Restglied ab. |
So nun noch eine Aufgabe, die mir gerade beim Durchrechnen etwas komisch vorkommt.
Mein Vorgehen:
Erstes nicht verschwindendes Restglied herausfinden:
grad f(x,y) = 0 und bei Hf(x,y) ist [mm] f_{yy} [/mm] = 2
=> [mm] T_{2} [/mm] = [mm] y^{2} [/mm] + [mm] R_{3}
[/mm]
[mm] R_{3}(0) [/mm] ausrechnen:
[mm] f_{xxx}(1,0) [/mm] = 0
[mm] f_{xxy}(1,0) [/mm] = 0
[mm] f_{xyy}(1,0) [/mm] = 2
[mm] f_{yyy}(1,0) [/mm] = 0
=> [mm] R_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*{3*f_{xyy}(1,0)*(x-x_{0})(y-y_{0})^{2}}
[/mm]
=> [mm] R_{3}(1,0) [/mm] = [mm] 1*2*(x-1)(y)^{2} [/mm] (nun (x-1) und y ersetzen durch Angaben => = 2 * 0.1 * [mm] 1^{2} [/mm] = 0.2
Das Vorgehen kommt mir jetzt ehrlich gesagt etwas komisch vor. Ich habe da zum einen das Restglied berechnet und dann die Fehlerabschätzung nach dem "linearen Prinzip" gemacht. Stimmt das? Kann ich mir irgendwie nicht vorstellen, weiß aber nicht, wie ich es anders machen sollte...
Grüße Johannes
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Hallo basstscho,
> Gegeben: f(x,y) = [mm]e^{xy^{2}}-1,[/mm] |x-1| <= 0.1, |y| <= 1
> Man bestimme erstes nicht verschwindendes Glied der
> Taylorformel mit dem Entwicklungspunkt (x,y) = (1,0) und
> schätze den Maximalfehler aus dem Restglied ab.
> So nun noch eine Aufgabe, die mir gerade beim Durchrechnen
> etwas komisch vorkommt.
>
> Mein Vorgehen:
> Erstes nicht verschwindendes Restglied herausfinden:
> grad f(x,y) = 0 und bei Hf(x,y) ist [mm]f_{yy}[/mm] = 2
>
> => [mm]T_{2}[/mm] = [mm]y^{2}[/mm] + [mm]R_{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]R_{3}(0)[/mm] ausrechnen:
> [mm]f_{xxx}(1,0)[/mm] = 0
> [mm]f_{xxy}(1,0)[/mm] = 0
> [mm]f_{xyy}(1,0)[/mm] = 2
> [mm]f_{yyy}(1,0)[/mm] = 0
>
> => [mm]R_{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}*{3*f_{xyy}(1,0)*(x-x_{0})(y-y_{0})^{2}}[/mm]
> => [mm]R_{3}(1,0)[/mm] = [mm]1*2*(x-1)(y)^{2}[/mm] (nun (x-1) und y ersetzen
> durch Angaben => = 2 * 0.1 * [mm]1^{2}[/mm] = 0.2
Nun das Restglied ergibt sich hier zu
[mm]R_{3}=\bruch{1}{2*1}*f_{xyy}\left(1,0\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}[/mm]
>
> Das Vorgehen kommt mir jetzt ehrlich gesagt etwas komisch
> vor. Ich habe da zum einen das Restglied berechnet und dann
> die Fehlerabschätzung nach dem "linearen Prinzip" gemacht.
> Stimmt das? Kann ich mir irgendwie nicht vorstellen, weiß
> aber nicht, wie ich es anders machen sollte...
Dein Vorgehen ist, bis auf das Restglied, richtig.
[mm]R_{3}=\bruch{1}{2*1}*f_{xyy}\left(1,0\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}[/mm]
[mm] \le \bruch{1}{2*1}*\vmat{f_{xyy}\left(1,0\right)}*\vmat{\left(x-x_{0}\right)}*\vmat{\left(y-y_{0}\right)^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2*1}*2*0.1*1^{2} = 0.1[/mm]
>
> Grüße Johannes
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
woher kommen denn noch die [mm] \bruch{1}{2}? [/mm] Ich habe gedacht, dass das Restglied in dem Fall quasi einfach das Stück ist, welches beim Taylorpolynom 3. Ordung noch dazukommen würde - stimmt das?
Ich habe vorher noch mit einem Freund geredet, der hat vor einer Weile einen Tutor gefragt wie man die Aufgabe lösen sollte. Leider weiß er es nicht mehr allzu genau - nur soviel: Die haben scheinbar für x = 1.1 und für y = 1 eingesetzt und sind somit auf ein Ergebnis für [mm] R_{3} [/mm] = [mm] 5*e^{1.1} [/mm] gekommen.
Kannst sich das jemand erklären? Wieso muss ich eigentlich bei dieser Aufgabe nicht irgendwie wieder eine Abschätzung (maximalen fehler finden) mit [mm] \nu [/mm] oder so etwas ähnlichem machen? Da würde das mit dem x = 1.1 ja evt Sinn machen - da die maximale Abweichung mit 0.1 dann zu x = 1.1 fürhen würde.
Ich bin momentan von den verschiedenen Aufgabentypen verwirrt.
Aber wenn mein Vorgehen auf jeden Fall stimmt, dann bin ich ja beruhigt - das einzige was mich wundert, dass die Lösung wohl irgendwie ein anderes Ergebnis hat...
Grüße Johannes
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Hallo basstscho,
> Hallo MathePower,
>
> woher kommen denn noch die [mm]\bruch{1}{2}?[/mm] Ich habe gedacht,
Der Bruch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] kommt daher, daß Du zweimal nach y
und einmal nach x ableitet. Es muß hier also korrekterweise
[mm]\bruch{1}{2!*1!}[/mm]
stehen.
Das kannst Du auch anhand der Gleichung
[mm]f\left(x,y\right)=\summe_{i,j=0}^{\infty}a_{ij}*\left(x-x_{0}\right)^{i}*\left(y-y_{0}\right)^{j}[/mm]
nachprüfen.
> dass das Restglied in dem Fall quasi einfach das Stück ist,
> welches beim Taylorpolynom 3. Ordung noch dazukommen würde
> - stimmt das?
>
> Ich habe vorher noch mit einem Freund geredet, der hat vor
> einer Weile einen Tutor gefragt wie man die Aufgabe lösen
> sollte. Leider weiß er es nicht mehr allzu genau - nur
> soviel: Die haben scheinbar für x = 1.1 und für y = 1
> eingesetzt und sind somit auf ein Ergebnis für [mm]R_{3}[/mm] =
> [mm]5*e^{1.1}[/mm] gekommen.
>
> Kannst sich das jemand erklären? Wieso muss ich eigentlich
> bei dieser Aufgabe nicht irgendwie wieder eine Abschätzung
> (maximalen fehler finden) mit [mm]\nu[/mm] oder so etwas ähnlichem
> machen? Da würde das mit dem x = 1.1 ja evt Sinn machen -
> da die maximale Abweichung mit 0.1 dann zu x = 1.1 fürhen
> würde.
Ich denke mal, das Restglied [mm]R_{3}[/mm] ist durch die Formel
[mm]R_{3}=\bruch{1}{3!}*f_{xxx}\left(\xi,\eta\right)*\left(x-x_{0}\right)^{3}+\bruch{1}{2!*1!}*f_{xxy}\left(\xi,\eta\right)*\left(x-x_{0}\right)^{2}*\left(y-y_{0}\right)[/mm]
[mm]+\bruch{1}{1!*2!}*f_{xyy}\left(\xi,\eta\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}+\bruch{1}{3!}*f_{yyy}\left(\xi,\eta\right)*\left(y-y_{0}\right)^{3}[/mm]
abzuschätzen.
Wobei
[mm]\vmat{\xi-1} \le 0.1, \ \vmat{\eta} \le 1[/mm]
und
[mm]\vmat{x-x_{0}} \le 0.1, \ \vmat{y-y_{0}} \le 1 [/mm]
>
> Ich bin momentan von den verschiedenen Aufgabentypen
> verwirrt.
>
> Aber wenn mein Vorgehen auf jeden Fall stimmt, dann bin ich
> ja beruhigt - das einzige was mich wundert, dass die Lösung
> wohl irgendwie ein anderes Ergebnis hat...
>
> Grüße Johannes
Gruß
MathePower
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