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Taylorpolynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Fr 30.11.2012
Autor: bobiiii

Aufgabe
Von der Funktion $f(x)=arcsinx$ bestimme man [mm] $p_2(x)$ [/mm] und [mm] $p_3(x)$, [/mm] das quadratische und das kubische Taylorpolynom, jeweils zur Entwicklungstelle a=0.5.
Berechnen Sie zum Vergleich die Werte f(0.4), [mm] $p_2(0.4)$, $p_3(0.4)$. [/mm]


Hallo allerseits!

Kann mir bitte jemand sagen, ob das so geht?

Mann muss ja für das [mm] $p_2(x)$ [/mm] die ersten zwei Ableitungen bilden und für [mm] $p_3(x)$ [/mm] die ersten drei, oder? Dann die Entwicklungsstelle a=0.5 in die Funktion und die Ableitungen einsetzen und dann alles in diese Formel einsetzen:

[mm] $P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n$ [/mm]

Wie muss ich dann die Werte zum Vergleich berechnen? Ich setzt dann einfach das 0.4 in die Funktion von f(x), [mm] $p_2(0.4)$ [/mm] und [mm] $p_3(0.4)$, [/mm] oder?
Wenn ich also [mm] $p_3(x)$ [/mm] habe und es z.B. so ausschaut: [mm] $p_3(x)=1x+1x^3$ [/mm] muss ich einfach 0.4 einsetzen?

Was bedeutet eigentlich das $!$ nach den Zahlen?

Gruß,
bobiiii


Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!


        
Bezug
Taylorpolynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Fr 30.11.2012
Autor: Richie1401

Hallo Bobiiii,

> Von der Funktion [mm]f(x)=arcsinx[/mm] bestimme man [mm]p_2(x)[/mm] und
> [mm]p_3(x)[/mm], das quadratische und das kubische Taylorpolynom,
> jeweils zur Entwicklungstelle a=0.5.
>  Berechnen Sie zum Vergleich die Werte f(0.4), [mm]p_2(0.4)[/mm],
> [mm]p_3(0.4)[/mm].
>  
> Hallo allerseits!
>  
> Kann mir bitte jemand sagen, ob das so geht?
>  
> Mann muss ja für das [mm]p_2(x)[/mm] die ersten zwei Ableitungen
> bilden und für [mm]p_3(x)[/mm] die ersten drei, oder?

Das stimmt nur bedingt. Aber in der Regel ist das richtig.
Du entwickelst einfach so lange, bis du die gewünschten Potenzen erreichst. Manchmal kann es nämlich sein, dass sich gerade einige Potenzen kürzen und man so noch weitere Ableitungen bilden muss.

> Dann die
> Entwicklungsstelle a=0.5 in die Funktion und die
> Ableitungen einsetzen und dann alles in diese Formel
> einsetzen:
>  
> [mm]P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n[/mm]
>  
> Wie muss ich dann die Werte zum Vergleich berechnen? Ich
> setzt dann einfach das 0.4 in die Funktion von f(x),
> [mm]p_2(0.4)[/mm] und [mm]p_3(0.4)[/mm], oder?

Richtig. Danach kann noch eine Folgerung von dir angegeben werden, also sowas wie
[mm] f(x_0)>p_3(x_0)>p_2(x_0), [/mm] also eine Annäherung von unten. Gerade bei physikalischen Berechnungen ist sowas interessant.

>  Wenn ich also [mm]p_3(x)[/mm] habe und es z.B. so ausschaut:
> [mm]p_3(x)=1x+1x^3[/mm] muss ich einfach 0.4 einsetzen?
>  
> Was bedeutet eigentlich das [mm]![/mm] nach den Zahlen?

! ist die Fakultät und es ist [mm] n!=n(n-1)(n-2)\ldots*2*1=\produkt_{i=1}^{n}i, [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm]

>
> Gruß,
>  bobiiii
>  
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!
>  


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Fr 30.11.2012
Autor: bobiiii

Hallo Richie1401,

Danke für die Erklärung!!

Gruß,
bobiiii

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Sa 01.12.2012
Autor: fred97


> Hallo Bobiiii,
>  
> > Von der Funktion [mm]f(x)=arcsinx[/mm] bestimme man [mm]p_2(x)[/mm] und
> > [mm]p_3(x)[/mm], das quadratische und das kubische Taylorpolynom,
> > jeweils zur Entwicklungstelle a=0.5.
>  >  Berechnen Sie zum Vergleich die Werte f(0.4), [mm]p_2(0.4)[/mm],
> > [mm]p_3(0.4)[/mm].
>  >  
> > Hallo allerseits!
>  >  
> > Kann mir bitte jemand sagen, ob das so geht?
>  >  
> > Mann muss ja für das [mm]p_2(x)[/mm] die ersten zwei Ableitungen
> > bilden und für [mm]p_3(x)[/mm] die ersten drei, oder?



> Das stimmt nur bedingt. Aber in der Regel ist das richtig.
>  Du entwickelst einfach so lange, bis du die gewünschten
> Potenzen erreichst. Manchmal kann es nämlich sein, dass
> sich gerade einige Potenzen kürzen und man so noch weitere
> Ableitungen bilden muss.



Hallo Richie,

damit bin ich nicht einverstanden. Für das n-te Taylopolynom muß man n Ableitungen berechnen. Und keine mehr.

FRED

>  > Dann die

> > Entwicklungsstelle a=0.5 in die Funktion und die
> > Ableitungen einsetzen und dann alles in diese Formel
> > einsetzen:
>  >  
> >
> [mm]P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n[/mm]
>  >  
> > Wie muss ich dann die Werte zum Vergleich berechnen? Ich
> > setzt dann einfach das 0.4 in die Funktion von f(x),
> > [mm]p_2(0.4)[/mm] und [mm]p_3(0.4)[/mm], oder?
>  Richtig. Danach kann noch eine Folgerung von dir angegeben
> werden, also sowas wie
>  [mm]f(x_0)>p_3(x_0)>p_2(x_0),[/mm] also eine Annäherung von unten.
> Gerade bei physikalischen Berechnungen ist sowas
> interessant.
>  >  Wenn ich also [mm]p_3(x)[/mm] habe und es z.B. so ausschaut:
> > [mm]p_3(x)=1x+1x^3[/mm] muss ich einfach 0.4 einsetzen?
>  >  
> > Was bedeutet eigentlich das [mm]![/mm] nach den Zahlen?
> ! ist die Fakultät und es ist
> [mm]n!=n(n-1)(n-2)\ldots*2*1=\produkt_{i=1}^{n}i,[/mm] für [mm]n\in\IN[/mm]
>  >

> > Gruß,
>  >  bobiiii
>  >  
> >
> > Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!
>  >  
>  


Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 So 02.12.2012
Autor: Richie1401

Hallo Fred,

du hast, wie so oft Recht.
Ich glaube ich war mal wieder von der Physik zu sehr eingenommen.

Kurze Erklärung:
Hat man ein System von Schwingungen und möchte die Bewegungsgleichungen aufstellen, so kann man sich des Lagrangeformalismus bedienen. Zur Bestimmung der Bewegungsgleichung nutzt man dann die Approximation der Winkelfunktionen später, um dann auch die Integration zu ermöglichen. Man reduziert das Problem auf kleine Schwingungen. Nun kann es durchaus sein, dass die Approximation von cos(x)=1 um x=0 für die Rechnung nicht ausreicht, weil so das System der Rechnung nach keine Eigenfrequenz besitzt.
Daher reicht die recht grobe Abschätzung keineswegs aus.


Für dieses Problem ist es aber tatsächlich so, dass exakt n Ableitungen ausreichen.

Witzigerweise hallt mir noch irgendetwas von meinem damaligen Seminarleiter (Analysis) im Ohr, wie er sagt: "Die Entwicklung reicht hier nicht aus..." im Sinne von: Wir brauchen noch ein paar Ableitungen.

Wie auch immer, Fred, du hast natürlich Recht.

Von physikalischer Seite her: Immer schön entwickeln.... ;)

Ich wünsche allen einen schönen 1. Advent!

Bezug
        
Bezug
Taylorpolynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 01.12.2012
Autor: bobiiii

Aufgabe
Von der Funktion $f(x)=arcsinx$ bestimme man [mm] $p_2(x)$ [/mm] und [mm] $p_3(x)$, [/mm] das quadratische und das kubische Taylorpolynom, jeweils zur Entwicklungstelle a=0.5.
Berechnen Sie zum Vergleich die Werte f(0.4), [mm] $p_2(0.4)$, $p_3(0.4)$. [/mm]

Hallo allerseits!

Leider habe ich jetzt Schwierigkeiten mit diesem Bsp.
Hoffe es kann mir jemand behilflich sein.

Also ich hab mal die Ableitungen gebildet.
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\wurzel(1-x^2)}$ [/mm]

[mm] $f''(x)=\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$ [/mm]

[mm] $f'''(x)=\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$ [/mm]

Dann habe ich die Werte ausgerechnet:

[mm] $f(0.5)\approx0.52$ [/mm]
[mm] $f'(0.5)\approx1.15$ [/mm]
[mm] $f''(0.5)\approx0.77$ [/mm]
[mm] $f'''(0.5)\approx3.08$ [/mm]

Dann habe ich alles in die Formel eingesetzt mit der Entwicklungstelle a=0.5
  

> [mm]P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n[/mm]

Es kam raus: [mm] $p_2(x)=0.38x^2+0.77x+0.55$ [/mm] und
             [mm] $p_3(x)=0.51x^3-0.39x^2+1.15x-0.014€ [/mm]

Hab dann alles in Geogebra darstellen lassen. [mm] $p_2(x)$ [/mm] schaut richtig aus,
aber [mm] $p_3(x)$ [/mm] schneidet die x-Achse nur einmal, eine kubische müsste sie aber dreimal schneiden? Bitte um Hilfe!

Gruß,
bobiiii


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Sa 01.12.2012
Autor: Richie1401

Hallo bobiiii,

> Von der Funktion [mm]f(x)=arcsinx[/mm] bestimme man [mm]p_2(x)[/mm] und
> [mm]p_3(x)[/mm], das quadratische und das kubische Taylorpolynom,
> jeweils zur Entwicklungstelle a=0.5.
>  Berechnen Sie zum Vergleich die Werte f(0.4), [mm]p_2(0.4)[/mm],
> [mm]p_3(0.4)[/mm].
>  Hallo allerseits!
>  
> Leider habe ich jetzt Schwierigkeiten mit diesem Bsp.
>  Hoffe es kann mir jemand behilflich sein.
>  
> Also ich hab mal die Ableitungen gebildet.
>  [mm]f'(x)=\frac{1}{\wurzel(1-x^2)}[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}[/mm]
>  
> [mm]f'''(x)=\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}[/mm]

Diese Ableitung ist falsch. Eventll. vertippt? Am besten du schaust da noch einmal drüber.

>  
> Dann habe ich die Werte ausgerechnet:
>  
> [mm]f(0.5)\approx0.52[/mm]
>  [mm]f'(0.5)\approx1.15[/mm]
>  [mm]f''(0.5)\approx0.77[/mm]
>  [mm]f'''(0.5)\approx3.08[/mm]

Und warum keine exakten Werte?!

>  
> Dann habe ich alles in die Formel eingesetzt mit der
> Entwicklungstelle a=0.5
>    
> >
> [mm]P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n[/mm]
>  
> Es kam raus: [mm]p_2(x)=0.38x^2+0.77x+0.55[/mm] und
>               [mm]$p_3(x)=0.51x^3-0.39x^2+1.15x-0.014€[/mm]

Interessanterweise stimmen deine Ergebnisse nahezu komplett. Nur das Absolutglied stimmt nicht ganz.
Aber wie gesagt: Wenn du mit Brüchen arbeitest, wäre das schon günstiger.

Man multipliziert allerdings meist gar nicht aus.

>  
> Hab dann alles in Geogebra darstellen lassen. [mm]p_2(x)[/mm] schaut
> richtig aus,
>  aber [mm]p_3(x)[/mm] schneidet die x-Achse nur einmal, eine
> kubische müsste sie aber dreimal schneiden?

Nein, eine kubische Gleichung muss die x-Achse nicht zwingend dreimal schneiden. Aber sie schneidet sie mindestens einmal!
Bitte um

> Hilfe!
>  
> Gruß,
>  bobiiii
>  


Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Sa 01.12.2012
Autor: bobiiii

Hallo Richie,

Danke für die Hilfe!

> > Also ich hab mal die Ableitungen gebildet.
>  >  [mm]f'(x)=\frac{1}{\wurzel(1-x^2)}[/mm]
>  >  
> > [mm]f''(x)=\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}[/mm]
>  >  
> > [mm]f'''(x)=\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}[/mm]
>  Diese Ableitung ist falsch. Eventll. vertippt? Am besten
> du schaust da noch einmal drüber.

Hier stimmt nur die dritte Ableitung nicht, oder?

Edit: Ich glaub ich hab jetzt auch f'''(x) richtig abgeleitet, es kommt aber für f'''(0.5) das gleiche Ergebnis wie vorher?

> > Es kam raus: [mm]p_2(x)=0.38x^2+0.77x+0.55[/mm] und
>  >               [mm]$p_3(x)=0.51x^3-0.39x^2+1.15x-0.014€[/mm]
>  Interessanterweise stimmen deine Ergebnisse nahezu
> komplett. Nur das Absolutglied stimmt nicht ganz.

Bei [mm] $p_2(x)$ [/mm] habe ich mich verschrieben, es sollte [mm]p_2(x)=0.38x^2+0.77x+0.05[/mm] stehen. Stimmt das?

Edit: Jetzt habe ich [mm] p_3(x) [/mm] nochmals ausgerechnet, es kam
[mm] $p_3(x)=0.51x^3-0.38x^2+1.14x-0.02$ [/mm] raus. Und jetzt schneidet die Kurve auch dreimal die x-Achse. Anscheinend hab ich es vorhin falsch in Geogebra eingetippt...

>  Aber wie gesagt: Wenn du mit Brüchen arbeitest, wäre das
> schon günstiger.

Macht es aber was aus wenn ich alles ausrechne und keine Brüche verwende?

Gruß,
bobiiii

Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Sa 01.12.2012
Autor: leduart

Hallo
da du sowoeso Wurzeln hast, also keine ganzen Brücje kannst du auch dezimal schreiben, allerdings mit genug Stellen.
2. du solltest die Polynome besser mit [mm] (x-0,5)^k [/mm] stehen lassen. dann kannst du die Polynome besser  verfleichen und siehst direkt, welche Korrektir bei x=0.4 [mm] p_3 [/mm] gegenpber [mm] p_2 [/mm] bringt. ausserdem ost [mm] )-0.1)^k [/mm] leichter auszurechnen!
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Taylorpolynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Sa 01.12.2012
Autor: bobiiii

Hallo!

Danke nochmals für eure Hilfe!!

Gruß,
bobiiii

Bezug
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