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Forum "Differentiation" - Taylorpolynome Bestimmen
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Taylorpolynome Bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Fr 12.06.2015
Autor: stefanB

Aufgabe 1
Gegeben seien die Funktionen
f(x) = ln(1 + x) und g(x) = ln((1 + x)/(1-x))

a) (6P) Berechnen Sie jeweils das dritte Taylorpolynom T3f und T3g von f bzw. g mit Entwicklungspunkt
x0 = 0.

Aufgabe 2
b) (6P) Geben Sie mit Hilfe der Taylorschen Formel eine Abschatzung der Restglieder auf dem
Intervall [0; 1] für f und auf dem Intervall [0; 1/2 ] fur g an.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo,

Ich komme schon bei Aufgabe a) nicht weiter. Ich denke ich habe das Taylorpolynom für f zwar richtig, doch kriege ich für g immer 0 raus.
f habe ich wie folgt gelöst:

f(x)=ln(1+x)

[mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{x}{(x+1)²} [/mm]

[mm] f'''(x)=\bruch{1}{(x+1)²}-\bruch{2x}{(x+1)²} [/mm]

und somit für das Taylorpolynom von f T3f = [mm] \bruch{1}{6}x^{3}+x [/mm] raus.

Bei g liegt, wie ich vermute, der Fehler wahrscheinlich bei der 1. Ableitung von g.
Was ich gemacht habe ist:

g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)
[mm] g'(x)=\bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{1-x} [/mm]

Ich hoffe jemand kann mir sagen was ich richtig gemacht habe, was nicht und wie ich weiter machen soll :)
Vielen Dank im voraus


        
Bezug
Taylorpolynome Bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Fr 12.06.2015
Autor: Thomas_Aut

Hallo

> Gegeben seien die Funktionen
>  f(x) = ln(1 + x) und g(x) = ln((1 + x)/(1-x))
>  
>  a) (6P) Berechnen Sie jeweils das dritte Taylorpolynom T3f
> und T3g von f bzw. g mit Entwicklungspunkt
>  x0 = 0.
>  b) (6P) Geben Sie mit Hilfe der Taylorschen Formel eine
> Abschatzung der Restglieder auf dem
>  Intervall [0; 1] für f und auf dem Intervall [0; 1/2 ]
> fur g an.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Hallo,
>  
> Ich komme schon bei Aufgabe a) nicht weiter. Ich denke ich
> habe das Taylorpolynom für f zwar richtig, doch kriege ich
> für g immer 0 raus.
>  f habe ich wie folgt gelöst:
>  
> f(x)=ln(1+x)
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{1+x}[/mm]

ok

>  
> [mm]f''(x)=\bruch{x}{(x+1)²}[/mm]

Ableitung falsch!!

>  
> [mm]f'''(x)=\bruch{1}{(x+1)²}-\bruch{2x}{(x+1)²}[/mm]

ebenfalls falsch!!

den Rest besprechen wir, wenn die Ableitungen mal passen.

>  
> und somit für das Taylorpolynom von f T3f =
> [mm]\bruch{1}{6}x^{3}+x[/mm] raus.
>  
> Bei g liegt, wie ich vermute, der Fehler wahrscheinlich bei
> der 1. Ableitung von g.
> Was ich gemacht habe ist:
>  
> g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)
>  [mm]g'(x)=\bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{1-x}[/mm]
>  
> Ich hoffe jemand kann mir sagen was ich richtig gemacht
> habe, was nicht und wie ich weiter machen soll :)
> Vielen Dank im voraus
>  

LG


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynome Bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Fr 12.06.2015
Autor: stefanB

moment was ist denn da passiert.

Mit der Kehrwertregel bekomme ich  [mm] f''(x)=\bruch{-1}{(x+1)^2} [/mm]
und für [mm] f'''(x)=\bruch{2}{(x+1)^3} [/mm]

Wenn ich mich recht entsinne habe ich mit der Quotientenregel versucht die ersten male zu rechnen

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynome Bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Fr 12.06.2015
Autor: MathePower

Hallo stefanB,

[willkommenmr]


> moment was ist denn da passiert.
>  
> Mit der Kehrwertregel bekomme ich  
> [mm]f''(x)=\bruch{-1}{(x+1)^2}[/mm]
>  und für [mm]f'''(x)=\bruch{2}{(x+1)^3}[/mm]
>  


Jetzt stimmt's. [ok]


> Wenn ich mich recht entsinne habe ich mit der
> Quotientenregel versucht die ersten male zu rechnen


Gruss
MathePower

Bezug
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