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Taylorreihe: Bildungsgesetz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mi 03.02.2016
Autor: sonic5000

Aufgabe
Entwickeln Sie die folgende Funktion um die Stelle [mm] x_0 [/mm] in eine Taylor-Reihe:

f(x)=cos x, [mm] x_0=\br{\pi}{3} [/mm]

Hallo,

Ableitungen:

[mm] f(\br{\pi}{3})=\br{1}{2} [/mm]

[mm] f'(\br{\pi}{3})=-\br{\wurzel{3}}{2} [/mm]

[mm] f''(\br{\pi}{3})=-\br{1}{2} [/mm]

[mm] f'''(\br{\pi}{3})=\br{\wurzel{3}}{2} [/mm]

Nun als Taylorreihe:

[mm] f(x)=\br{1}{2}-\br{\wurzel{3}}{2*1!}(x-\br{\pi}{3})^1-\br{1}{2*2!}(x-\br{\pi}{3})^2+\br{\wurzel{3}}{2*3!}(x-\br{\pi}{3})^3 [/mm]

Als Bildungsgesetz komme ich auf:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{}{2*n!}(x-\br{\pi}{3})^n [/mm]

Hier weiss ich nicht recht weiter...

Im Lösungsbuch steht der Konvergenzbereich ist [mm] |x|=\infty. [/mm]

Brauche ich hierfür überhaupt ein Bildungsgesetz um das herauszufinden?

Kann man das in diesem Fall überhaupt bilden?

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:25 Do 04.02.2016
Autor: fred97


> Entwickeln Sie die folgende Funktion um die Stelle [mm]x_0[/mm] in
> eine Taylor-Reihe:
>  
> f(x)=cos x, [mm]x_0=\br{\pi}{3}[/mm]
>  Hallo,
>  
> Ableitungen:
>  
> [mm]f(\br{\pi}{3})=\br{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]f'(\br{\pi}{3})=-\br{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>  
> [mm]f''(\br{\pi}{3})=-\br{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]f'''(\br{\pi}{3})=\br{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>  
> Nun als Taylorreihe:
>  
> [mm]f(x)=\br{1}{2}-\br{\wurzel{3}}{2*1!}(x-\br{\pi}{3})^1-\br{1}{2*2!}(x-\br{\pi}{3})^2+\br{\wurzel{3}}{2*3!}(x-\br{\pi}{3})^3[/mm]
>  
> Als Bildungsgesetz komme ich auf:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{}{2*n!}(x-\br{\pi}{3})^n[/mm]
>  
> Hier weiss ich nicht recht weiter...

Ich würde so vorgehen:

  cos(x)=cos((x- [mm] \bruch{\pi}{3})+ \bruch{\pi}{3}) [/mm]

Jetzt Additionstheorem und dann 2 Potenzreihen addieren....


>
> Im Lösungsbuch steht der Konvergenzbereich ist [mm]|x|=\infty.[/mm]


Steht in Deinem Lösungsbuch wirklich [mm]|x|=\infty.[/mm]   ?

Wennja, so stopf es ins Klo.

Gemeint ist: der Konvergenzbereich ist [mm] \IR [/mm] (oder der Konvergenzradius  ist = [mm] \infty). [/mm]


>
> Brauche ich hierfür überhaupt ein Bildungsgesetz um das
> herauszufinden?

Nein.


>
> Kann man das in diesem Fall überhaupt bilden?

Ja.

FRED


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Do 04.02.2016
Autor: sonic5000

Hast Recht... Da habe ich mich geirrt... Im Buch steht natürlich:

Konvergenzbereich: [mm] |x|<\infty [/mm]



Bezug
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