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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 21.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe | Geben Sie die Taylorreihe der Funktion
f(x) = ln(x), x > 0,
um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 1 an. Zeigen Sie, dass diese Reihe fuer
0 < x [mm] \le [/mm] 2 konvergiert und fuer
x = 0 divergiert. |
Hallo,
bevor ich mit der aufgabe anfange, wollte ich wissen
ob meine vermutung über die taylorreihe stimmt:
[mm] f^{(k)}(x) [/mm] = [mm] ln(x)*(-1)^{k} *k!*x^{-(k+1)} [/mm] , für k > 0
Freue mich über jede Antwort.
MFG
kuminitu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 21.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sascha
> Geben Sie die Taylorreihe der Funktion
> f(x) = ln(x), x > 0,
> um den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] = 1 an. Zeigen Sie, dass
> diese Reihe fuer
> 0 < x [mm]\le[/mm] 2 konvergiert und fuer
> x = 0 divergiert.
> bevor ich mit der aufgabe anfange, wollte ich wissen
> ob meine vermutung über die taylorreihe stimmt:
>
> [mm]f^{(k)}(x)[/mm] = [mm]ln(x)*(-1)^{k} *k!*x^{-(k+1)}[/mm] , für k > 0
die Formel ist sehr falsch!
1. wenn du ln(x) um x=1 entwickelst kommt sicher nicht mehr ln(x) vor.
2. eine Taylorpolynom ist ein Polynom, d.h. es kommen keine negativen exponenten vor.
3. wenn da k! als Faktor steht, kann es fast nicht konvergieren.
Folgerung: sieh die Formel für das Taylorpolynom bzw. Reihe an, bilde die ersten 4 bis 5 Ableitungen von ln(x) an der Stelle x=1. Denk dran, dass im Taylorpolynom [mm] (x-x0)^{n} [/mm] steht, wenn man um die Stelle x0 entwickelt.
Endlich: Taylorpolynome "vermutet man nicht, sondern rechnet-wenigstens die ersten paar Glieder, Rest mit vollst. Induktion!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 21.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
kann mir dann jemand sagen wie die reihe dann aussehen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 21.01.2006 | | Autor: | lui |
naja leite deine funktion ab, solange bis du ein "Gesetz der Wiederholung" erkennen kannst.
Ich glaube das ist:
[mm] f^{n}(x)=\bruch{(n-1)!*(-1)^{n+1}}{x^n}
[/mm]
das musst du nur nur für dein [mm] x_{0} [/mm] in die Taylorformel einsetzen.
Zur Probe meine Taylorreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{oo}=\bruch{(n-1)!*(-1)^{n+1}*(x-1)^n}{n!}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 24.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Danke schon mal für die Antworten,
das habe ich jetzt auch rausbekommen,
aber wie prüfe ich die Konvergenz zwischen 0 und 2?
MFG
kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 24.01.2006 | | Autor: | kokiweb |
Ich bin auf diesem Gebiet auch Anfänger... Ich vermute, Du wirst beim Einsetzen von x=0 in die Taylor-Reihe eine divergente Zahlenreihe erhalten. Versuchen wir es doch einfach mal...
Die Ableitungen von ln(x) sind:
ln'(x) = 1/x
ln''(x) = [mm] -1/x^{2}
[/mm]
ln'''(x) = [mm] 2/x^{3}
[/mm]
ln''''(x) = [mm] -6/x^{4}
[/mm]
usw.
Um die Taylor-Reihe zu erhalten, musst Du die Ableitungen nur noch in die Formel einsetzen:
[mm] T_{n}f(x) [/mm] = [mm] T_{n}f(x; [/mm] a) := [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k
[/mm]
heißt n-tes Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt a ,wobei k in [mm] f^{k} [/mm] die Anzahl der Ableitungen von f darstellt.
Die Taylor-Approximation von ln(x) lautet dann...
[mm] T_{n}ln(x)=ln(a) [/mm] + [mm] \bruch{1}{a}*(x-a) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2a^2}*(x-a)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6a^3}*(x-a)^3 [/mm] - ....
Wenn Du jetzt x=0 setzt erhältst Du
[mm] T_{n}ln(0)=ln(a) [/mm] + [mm] \bruch{1}{a}*(-a) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2a^2}*(-a)^2 [/mm] + [mm] \bruch{2}{6a^3}*(-a)^3 [/mm] - ....
= ln(a) -1 [mm] -\bruch{1}{2} -\bruch{2}{6} [/mm] - ....
Siehst Du hier, dass die koeffizienten der Ableitungen 1,2,6,24,... die Fakultät von der (Anzahl der Ableitungen - 1) bilden? Das wäre das, was über dem Bruchstrich passiert.
Unter dem Bruchstrich gibt es auch eine Fakultät, nämlich die der Taylorformel.
Kürzt man das alles, erhält man die divergente, harmonische Reihe [mm] -(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+...)
[/mm]
Weißt Du jetzt weiter?
Sascha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 24.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
also ich habe die folgende Taylorreihe rausbekommen:
[mm] T_{f}(x)= \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{-1}{k} [/mm] * [mm] (1-k)^{k}
[/mm]
und die ähnelt ja der geometrischen reihe,
aber kann ich die den hier anwenden(Falls es den überhaupt geht)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Di 24.01.2006 | | Autor: | kokiweb |
Ich denke, die Taylor-Reihe, die lui Dir geschrieben hat, ist schon richtig. Hätte ich luis Antwort doch wenigstens mal gelesen. Es wäre hilfreich, wenn Du Dich vorher nochmal mit Potenzreihen auseinandersetzt - oder hast Du Dich nur verschrieben...
Wo kommt denn das x in Deiner Taylor-Reihe vor?
[mm] T_{f}(x)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*\bruch{(x-1)^k}{k}
[/mm]
würde stimmen.
Hier siehst Du dann, dass die Reihe nur für x>0 konvergiert - also dass für
- 0<x<1 eine konvergente geometrische -
- und für x>=1 eine konvergente Leibniz-Reihe entsteht.
Die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n} [/mm] konvergiert für |x|<1 also auch für x=0. [mm] T_{f}(x) [/mm] aber nicht.
Sascha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo kuminitu!
Schau bitte in meinen Beitrag weiter unten... 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 24.01.2006 | | Autor: | lui |
Sersn
Ich bin mir auch nicht sicher, aber ich würde anders argumentieren:
Für den Konvergenzradius gilt:
[mm] \bruch{1}{r}= \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{la_{n}l}
[/mm]
wobei dein [mm] a_{n} [/mm] der Koeffizient der Taylorreihe ist.
für r=0 konvergiert die Reihe nur in [mm] x_{0}
[/mm]
für [mm] r=\infty [/mm] konvergiert die Reihe für alle x
wenn der r eine Zahl ist konvergiert die Reihe in einem Intervall! (da gibt es wieder verschiedene möglichkeiten für die Randpunkte mit/ohne)
Bei deinem Fall würde r eine Zahl sein. (Ich glaube r=1)
damit kannst du die Ränder deines Intervalls berechnen:
[mm] x_{1}=1-1=0 [/mm] und [mm] x_{2}=1+1=2
[/mm]
Da kannst du dann schauen welche Randpunkte dabei sind und welche nicht. Die Ränder würden immerhin mit deiner Frage übereinstimmen.
Ich hoffe das hilft?
Grüße Lui
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mi 25.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Vielen dank für die hilfen,
eine letzte frage nur noch, was ist der koeffizient der taylorreihe??
dass heisst was setze ich für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{la_{n}l}
[/mm]
ein??
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