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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Der Betrag der Anziehungskraft der Erde auf einen Körper der Masse m im Abstand r vom Erdmittelpunkt ist gegeben durch:
$F = [mm] \br{\gamma*m*M}{r^2}$
[/mm]
Der Körper befinde sich in der Höhe h mit h<< Erdradius R. Zeigen Sie, dass näherungsweise gilt:
[mm] $F\approx mg*(1-2\br{h}{R})$
[/mm]
Dabei ist die Erdbeschleunigung g gegeben durch: [mm] g=\br{\gamma *M}{R^2}
[/mm]
wobei M die Erdmasse ist und [mm] \amma [/mm] die Gravitationskonstante. |
Hallo.
Also ich kann die Aufgabe schon einmal dem Thema "Taylorreihe" zuordnen.
Weiterhin habe ich die Formel $F = [mm] \br{\gamma*m*M}{r^2}$
[/mm]
Unser Lehrer hat uns den Tipp gegeben, dass r = R+h ist. Ich verstehe allerdings nicht, warum das so sein soll. Also r ist der Abstand des Körpers und dem Erdmittelpunkt. Nun gehe ich dem Erdradius vom Mittelpunkt entlang (in Richtung des Körpers). Dann müsste die Höhe ja das fehlende Stück sein????
Was bedeutet denn dieses <<? : Der Körper befinde sich in der Höhe h mit h<< Erdradius R.
Also wie komme ich auf die Formel r=R+h?
Dann setze ich das in die Formel F ein
[mm] F=\br{\gamma*m*N}{(R+h)^2}
[/mm]
Für die Taylorreihe ist ableiten auch sicherlich nicht verkehrt, dann erhalte ich, wenn ich nach h ableite, weil alles andere Konstanten sind:
[mm] $F'=-2\gamma [/mm] * m* M [mm] *\br{1}{(R+h)^3}$
[/mm]
Normalerweise steht in den Aufgaben bei uns aber immer etwas von x = 0 oder ähnliches.
Die Taylorreihe lautet übrigens
[mm] \summe_{j=0}^{\infty} \br{1}{j!}*f^j(x_0)(x-x_o)^j
[/mm]
Ich komme nicht weiter.
Also ich würde jetzt spontan auch mal den Funktionswert Null in Ff(h) und F'(h) einsetzen
Dann erhalte ich [mm] f(0)=\br{\gamma *m*M}{R^2}
[/mm]
f'(0) = [mm] \br{- 2\gamma *m*M}{R^3}
[/mm]
Wenn das richtig ist, warum soll ich hier auch den Funktionswert Null einsetzen? Ist das immer so bei der Taylorreihe?????
Seid recht herzlich bedankt!
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mi 25.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hi Phoney
> Unser Lehrer hat uns den Tipp gegeben, dass r = R+h ist.
> Ich verstehe allerdings nicht, warum das so sein soll. Also
> r ist der Abstand des Körpers und dem Erdmittelpunkt. Nun
> gehe ich dem Erdradius vom Mittelpunkt entlang (in Richtung
> des Körpers). Dann müsste die Höhe ja das fehlende Stück
> sein????
Das "fehlende Stück" ist h. Mach mal eine Skizze!
> Was bedeutet denn dieses <<? : Der Körper befinde sich in
> der Höhe h mit h<< Erdradius R.
>
Dass bedeutet "viel kleiner als"...
> Also wie komme ich auf die Formel r=R+h?
r Abstand Erdmittelpunkt - Körper
R Abstand Erdmittelpunkt - Oberflache der Erde
h Abstand Oberfläche der Erde - Körper
> Dann setze ich das in die Formel F ein
>
> [mm]F=\br{\gamma*m*M}{(R+h)^2}[/mm]
[mm]F=\br{\gamma*m*M}{(R+h)^2}=\br{\gamma*m*M}
{R^{2}\left( 1+\bruch{h}{R}\right)^2}=
\bruch{mg}{\left( 1+\bruch{h}{R}\right)^2}[/mm]
> Für die Taylorreihe ist ableiten auch sicherlich nicht
> verkehrt, dann erhalte ich, wenn ich nach h ableite, weil
> alles andere Konstanten sind:
Du schreibst die Taylorreihe nicht in dieser Notation.
Man bezeichnet
[mm]x=\bruch{h}{R}[/mm]
und entwickelst die Funktion
[mm]f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}[/mm]
Du hast:
[mm]f(0)=1[/mm]
[mm]f^{\, \prime}(x)=-\bruch{2}{(1+x)^{3}},\quad
f^{\, \prime}(0)=-2[/mm]
Die Entwicklung ist dann:
[mm]f(x)\approx \bruch{1}{0!}f(0)+\bruch{1}{1!}f^{\, \prime}(0)x[/mm]
[mm]\bruch{1}{(1+x)^{2}}\approx 1-2x[/mm]
Zurück zu unseren Bezeichnungen:
[mm]\bruch{1}{\left( 1+\bruch{h}{R}\right)^{2}}\approx 1-2\bruch{h}{R}[/mm]
Alles klar? Wenn du mit der Zusammenstzung dieser Elemente nich zurecht kommst, melde dich nochmal!
Gruss, 
galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
Das war eine sehr gute Antwort und schöne Rechnungen, dennoch bleibt eine Frage
> und entwickelst die Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}[/mm]
>
> Du hast:
>
> [mm]f(0)=1[/mm]
>
> [mm]f^{\, \prime}(x)=-\bruch{2}{(1+x)^{3}},\quad
f^{\, \prime}(0)=-2[/mm]
>
> Die Entwicklung ist dann:
Wie kommt man darauf, die Reihe für x=0 zu entwickeln? Ich hatte ja versucht, die an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = R zu entwickeln. Das funktionierte ja nicht. Warum setze ich also nun x=0?
Danke sccon mal!
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phoney
Wo und wie benutzt man die Taylorreihe?
Wenn man sie als "Näherung" für die Berechnung einer fkt. benutzt, ist diese Näherung umso besser, je näher man an der Stelle ist.
In der Taylorreihe kommen doch die Glieder (x-x0); [mm] (x-x0)^2, (x-x0)^3 [/mm] usw vor.
Wenn man jetzt x in der Nähe von x0 nimmt, also (x-x0) klein, meist <1 dann sind die höheren Potenzen erst recht klein und ich kann sie für ungefährrechnungen weglassen.
h selbst ist aber nicht klein sonder so was wie 100m oder ähnliches. aber h<<R heisst h/R<<1 und deshalb nimm ich die Taylorreihe, die bei h=0 exakt ist, und in der Nähe noch ziemlich genau, auch wenn ich nur die ersten 2 Glieder nehme.
Dass man beim Taylorreihe hinschreiben lieber x statt h/R schreibt, und alle Konstanten erst mal weglässt ist einfach weil man dann weniger leicht Fehler macht.
Du kannst hier auch x0=R, x=R+h und das entwickeln um R ; (x-x0)=h
Und dann die Formel nicht bei 0 sondern bei x0 verwenden, dann ist es etwas schwerer zu zeigen, dass es für h=100m noch sehr gut ist. aber dass h/r=100m/(6,3*10^6m) klein ist und das Quadrat schon kleiner [mm] 10^{-8} [/mm] ist sieht man gut.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Mojn.
Danke euch beiden für die Erklärungen! Dankschön!
Gruß
Johann
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