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Ich habe die Funktion f(x) = ln(1+x) in die Taylorreihe T(x) = $ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{n+1} \bruch{x^n}{n} [/mm] $ entwickelt.
Jetzt möchte ich die Konvergenz untersuchen. Kann man hier den Konvergenzradius der Reihe ausrechnen? Für die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] war das sehr einfach, weil diese als Taylorreihe die geometrische Reihe darstellt und diese konvergiert bei 0 [mm] \le [/mm] q [mm] \le [/mm] 1. Aber bei ln(1+x)?
Außerdem eine Frage zur Berechnung: Bei der Taylorreihe gibt es doch immer nur eine Vorgehensweise, also die Systematik ist immer die selbe oder gibt es irgendwelche spezielle Ausnahmefälle, die man wissen sollte? (die Formel und die Herleitung dieser ist mir bekannt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x} [/mm] ist die Ableitung von ln(1+x) was sagt dir da üeber die Reihe vergleich mal die 2 Reihen!
Du kannst ja in deine Reihe für [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] -x einsetzen!
Gruss leduart
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puh das verstehe ich leider nicht. Vergleichen? Mit dem Majorantenkriterium? Damit wüsste ich dann zwar ob die Reihe konvergiert, aber nicht für welche x oder? Kannst du mir das bitte nochmals erklären, deine Vorgehensweise würde mich interessieren.
Ich habe es derzeit so gelöst:
R = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{a_n}{a_n+1} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{\bruch{x^n}{n}}{\bruch{x^{n+1}}{n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^n(n+1)}{n\cdot{}x^n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^n\cdot{}n+x^n}{n\cdot{}x^n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^n+\bruch{1}{n}\cdot{}x^n}{x^n} [/mm] = [mm] \bruch{x^n+0}{x^n} [/mm] = 1
Also das alternierende Vorzeichen lasse ich durch das Betragszeichen weg und rechne einfach drauf los - stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Di 17.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ich habe es derzeit so gelöst:
>
> R = [mm]\limes_{n \to \infty} \left| \bruch{a_n}{a_n+1} \right|[/mm]
eigentlich gehört hier kein x mehr rein.
> = [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{\bruch{x^n}{n}}{\bruch{x^{n+1}}{n+1}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{x^n(n+1)}{n\cdot{}x^n}[/mm] =
hier währe
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^n(n+1)}{n\cdot{}x^{n+1}}= [/mm]
richtig.
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{x^n\cdot{}n+x^n}{n\cdot{}x^n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{x^n+\bruch{1}{n}\cdot{}x^n}{x^n}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^n+0}{x^n}[/mm] = 1
>
> Also das alternierende Vorzeichen lasse ich durch das
> Betragszeichen weg und rechne einfach drauf los - stimmt
> das so?
Das Ergebnis stimmt aber bei dem Weg ist was falsch gelaufen, s.o.
[mm] a_n=\br{(-1)^{n+1}}{n} [/mm] also ist
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{a_n}{a_{n+1}}\right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{\br{(-1)^{n+1}}{n}}{\br{(-1)^{n+2}}{n+1}}\right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{n+1}{n}\right|=1
[/mm]
Die Ränder sind separat zu untersuchen.
Für x=1 folgt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{1^n}{n}=\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{1}{n}
[/mm]
und die Reihe ist als alternierende Reihe nach dem Leibnitz Kriterium konvergent
Für x=-1 folgt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{(-1)^n}{n}=\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n+1} \bruch{1}{n}=-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
und diese Reihe ist divergent (Harmonische Reihe)
also ist der Konvergenztradius [mm] -1
mfg ullim
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jetzt bin ich etwas verwirrt. wieso gehört hier kein x mehr rein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Di 17.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
allgemein gilt für Reihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] ist konvergent, wenn gilt,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{b_{n+1}}{b_n}\right|<1 [/mm] und die Reihe ist divergent wenn der Quotient >1 ist.
Für eine Potenzreihe folgt daraus mit [mm] b_n=a_nx^n, [/mm] die Potenzreihe ist konvergent in einem Bereich für den gilt.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|<1 [/mm] also,
für [mm] |x|<\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{a_{n}}{a_{n+1}}\right|.
[/mm]
Und als Konvergenzradius wird die rechte Seite definiert. Er berechnet sich aber ausschließlich aus den Koeffizienten der Potenzreihe.
Die Ränder sind jeweils separat zu untersuchen.
mfg ullim
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Hm ok ich verstehe. Habe dann hier aber noch ein blöde Frage: Bei der Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] $ wäre dann das [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] ???
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> Hm ok ich verstehe. Habe dann hier aber noch ein blöde
> Frage: Bei der Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm]
> wäre dann das [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] ??? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
jo, das ist so 
Gruß
schachuzipus
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hm sorry, aber muss es nicht: $ [mm] |x|<\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\br{a_{n+1}}{a_{n}}\right|. [/mm] $ heißen?
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Hallo mathe-tu-münchen!
Nein, das ist wie oben dargestellt schon richtig. Denn der ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius $r_$ ist (u.a.) folgendermaßen definiert:
$r \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] (also genau der Kehrwert zum Term des Quotientenkriteriums)
Gruß vom
Roadrunner
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