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Taylorreihe: Restglied Abschätzung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mi 16.04.2008
Autor: side

Aufgabe
Sei [mm] x_0\in\IR [/mm] beliebig.
a)Zeige, dass [mm] cos:\IR\to\IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] durch die Taylorreihe in [mm] x_0 [/mm] dargestellt wird, d.h. bezeichnet [mm] T_{x_0,n} [/mm] das n-te Taylorpolynom der cos-Fkt in [mm] x_0, [/mm] so gilt [mm] T_{x_0,n}\to{cos(x)} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] und jedes [mm] x\in\IR. [/mm]
b)Berechne [mm] T_{\bruch{\pi}{4},2} [/mm] und zeige, dass dieses Polynom auf [mm] [\bruch{\pi}{4}-0,1 [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{4}+0,1] [/mm] von cos um weniger als einen Fehler von [mm] 2*10^{-4} [/mm] abweicht.

a)Ich denke, dass ich hier die Taylorreihe bilden muss und dann zeigen soll, dass [mm] cos(x)-T_{x_0,n}=0 [/mm] ist, also das Restglied gegen 0 geht. Bin ich bis dahin schon mal auf dem richtigen Weg?
b)Hier kann ich das Taylorpolynom ja ausrechnen, dann muss ich denke ich überlegen, wie die cos-Fkt auf dem angegebenen Intervall verläuft. Jetzt kann ich wieder wie bei a) vorgehen und [mm] cos(x)-T_{x_0,n} [/mm] betrachten. Diesmal ist das Restglied jedoch nciht 0, sondern an einer bestimmten Stelle wirdes maximal groß, das bedeutet, dieser ert ist dann die maximale Abweichung zwischen Fkt und Taylorpolynom, oder?

        
Bezug
Taylorreihe: Tip
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mi 16.04.2008
Autor: schlunzbuns1

Ja, Du bist auf dem richtigen Weg.
(a) Das Restglied [mm] R_n [/mm] muß gegen  Null gehen, damit die Funktion in Taylorreihe darstellbar ist.  Es ist aber
R_(n-1) = (1/n!) * (cos^(n)(u)) * [mm] (x-x_0)^n, [/mm] mit einer Zwischenstelle
u [mm] \in [x_0,x], [/mm] wenn x > [mm] x_0. [/mm] Da die Ableitungen vom Kosinus bis
auf das Vorzeichen sämtlich Sinus oder Kosinus sind und der Betrag dieser
Winkelfunktionen durch 1 beschränkt ist, ergibt sich die Ungleichung
|R_(n-1)|<= (1/n!) * [mm] |x-x_0|^n [/mm] <= [mm] a^n/n!. [/mm]
Der letzte Ausdruck beschreibt das n-te Glied der Potenzreihe von [mm] e^a, [/mm]
welche bekanntlich überall konvergiert. Das bedeutet, daß dieses
n-te Glied gegen Nulll konvergieren muss. Also R_(n-1) -> 0.
(b) Die obigen Arbumente führen im vorgegebenen Intervall
zur Fehlerabschätzung für das Restglied der Form
|R_(n-1)|<= [mm] 0.1^n/!n!. [/mm] Mit n=3 folgt dann  |R_(n-1)|<= 1.6667e-004.
das ist noch besser als die angegebene Schranke.
Gruss vom Schlunzbuns



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