Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 23.05.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Taylorreihe
Berechnen Sie die Taylorreihe von f (x) = [mm] e^{1-sin(x²/2)-cos(x)} [/mm] um x = 0
bis zum Glied [mm] x^4. [/mm] Das Restglied R5 = [mm] O(x^5) [/mm] braucht nicht angegeben zu werden.
Hinweis: Kommen Sie ohne (eigenes) Differenzieren aus? Sie sollten! |
hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
die taylorreihe an sich verstehe ich ja einigermaßen, also ableiten u in die formel einsetzen.
hier soll ich das aber ohne selbst abzuleiten lösen...
wie soll denn das gehen? ich hab schon überlegt es mit der taylorreihe der e-funtion zu versuchen, aber das ergibt auch keinen sinn...
danke
cracker
|
|
| |
|
Hallo!
Doch, das ergibt Sinn.
Man kann eine T-Reihe in eine andere einsetzen. Du solltest die Taylor-Reihen von [mm] e^x, \sin(x) [/mm] und [mm] \cos(x) [/mm] kennen, und dann ist das nur noch stupides Einsetzen...
[mm] \sin(z)=z-\frac{1}{6}z^3+\mathcal{O}(z^5)
[/mm]
Die T-Reihe von Polynomen ist simpel:
[mm] \frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}
[/mm]
und damit:
[mm] \sin \frac{x^2}{2}=\left(\frac{x^2}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{x^2}{2}\right)^3+\mathcal{O}\left(\left(\frac{x^2}{2}\right)^5\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^\red{6}}{6*2^3}+\mathcal{O}(...)=\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^6)
[/mm]
In diesem Beispiel gibts den Exponenten 5 nicht, daher ist das sogar 6 Ordnung.
Du kannst dir übrigens viel Rechenarbeit sparen, wenn du Terme, die zu zu hohen Ordnungen führen, nicht ganz ausrechnest. Die Berechnung von [mm] 6*2^3 [/mm] ist z.B. überflüssig. Auf der anderen Seite ists natürlich interessant, daß du hier eine Ordnung geschenkt bekommst...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 23.05.2009 | | Autor: | cracker |
hi, danke erstmal für die antwort!
ich brauche jetzt also nur die taylorreihe der e-funktion und schreiben statt dem x immer (1-sin(x²/2)-cos(x))? und das wars?
oder hab ich das falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
> hi, danke erstmal für die antwort!
> ich brauche jetzt also nur die taylorreihe der e-funktion
> und schreiben statt dem x immer (1-sin(x²/2)-cos(x))? und
> das wars?
> oder hab ich das falsch verstanden?
Hallo,
so kannst Du anfangen.
Dann ersetzt Du in (1-sin(x²/2)-cos(x)) die Funktionen sin(x²/2) und cos(x) auch durch ihre Taylorreihen.
Oder umgekehrt: erst sin(x²/2) und cos(x) in (1-sin(x²/2)-cos(x)) , dann die Taylorreihe für [mm] e^x.
[/mm]
Probier mal ein bißchen, Zeig' bei Rückfragen, was Du getan hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
hi,
also ich hab herausgefunden, dass es schneller geht wenn ich erst die taylorreihen von sin(x²/2) und cos(x) in einsetze. Denn für sin (x²/2) kommt ja einfach x²/2 als taylorreihe heraus und für cos(x) nur [mm] 1-x²/2+x^4/24. [/mm]
Wenn ich das dann in (1-sin(x²/2)-cos(x)) einsetze, dann steht am schluss nur noch [mm] x^4/24 [/mm] im exponenten der e-funktion!
Davon die Taylorreihe bis zum glied [mm] x^4 [/mm] ist dann einfach nur noch [mm] 1+x^4/24, [/mm] oder?
Stimmen meine ergebnisse oder hab ichs mir zu einfach gemacht?
|
|
|
| |
|
> hi,
>
> also ich hab herausgefunden, dass es schneller geht wenn
> ich erst die taylorreihen von sin(x²/2) und cos(x) in
> einsetze. Denn für sin (x²/2) kommt ja einfach x²/2 als
> taylorreihe heraus und für cos(x) nur [mm]1-x²/2+x^4/24.[/mm]
> Wenn ich das dann in (1-sin(x²/2)-cos(x)) einsetze, dann
> steht am schluss nur noch [mm]x^4/24[/mm] im exponenten der
> e-funktion!
> Davon die Taylorreihe bis zum glied [mm]x^4[/mm] ist dann einfach
> nur noch [mm]1+x^4/24,[/mm] oder?
> Stimmen meine ergebnisse oder hab ichs mir zu einfach
> gemacht?
Hallo,
selbst aufgeschrieben und gerechnet habe ich jetzt nichts, aber ich hab's mal geplottet, und das sieht gut aus.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo cracker,
> hi,
>
> also ich hab herausgefunden, dass es schneller geht wenn
> ich erst die taylorreihen von sin(x²/2) und cos(x) in
> einsetze. Denn für sin (x²/2) kommt ja einfach x²/2 als
> taylorreihe heraus und für cos(x) nur [mm]1-x²/2+x^4/24.[/mm]
> Wenn ich das dann in (1-sin(x²/2)-cos(x)) einsetze, dann
> steht am schluss nur noch [mm]x^4/24[/mm] im exponenten der
> e-funktion!
> Davon die Taylorreihe bis zum glied [mm]x^4[/mm] ist dann einfach
> nur noch [mm]1+x^4/24,[/mm] oder?
Die Taylorentwicklung bis zum Grad 4 muß doch so heißen:
[mm]T_{4}\left(x\right)=1-\bruch{x^{4}}{24}[/mm]
> Stimmen meine ergebnisse oder hab ichs mir zu einfach
> gemacht?
Die Überlegungen von Dir sind richtig.
Setzt man das zusammen, dann ist
[mm]1-\sin\left(\bruch{x^{2}}{2}\right)-\cos\left(x\right) = 1-\left(\bruch{x^{2}}{2}+O\left(x^{6}\right)\right)-\left(1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}} {24}+O\left(x^{6}\right)\right)[/mm]
[mm]=-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6}\right)[/mm]
Dann ist
[mm]e^{-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6}\right)} = 1 + \left(-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6}\right)\right)+O\left(x^{8}\right)=1-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6\right)[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
Ah..
also war nur ein vorzeichenfehler..
danke!
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich will dir noch was schreiben, was ich eben aus Zeitmangel nicht getan habe.
Von einer Taylor-Reihe erwartet man, daß sie um den Entwicklungspunkt die Funktion am besten annähert.
Schau dir [mm] e^{\cos x} [/mm] an, und entwickel das um x=0.
Du hast dann [mm] $\cos x=1-\frac{1}{2}x^2+\mathcal{O}(x^4)$ [/mm] , das heißt also, der COS liefert für [mm] $x\approx [/mm] 0$ Werte von [mm] $\approx [/mm] 1$.
Das heißt, die e-Funktion wird mit Werten um 1 gefüttert. Wenn du für die e-Funktion nun aber die bekannte Taylorreihe um 0 benutzt, ist die Annäherung nicht mehr so gut. Demnach mußt du in diesem Fall die e-Funktion um x=1 entwickeln, um die Taylorreihe des COS einsetzen zu können.
Für deine Aufgabe spielt das aber keine Rolle, denn da steht [mm] \red{1}+\sin-\red{\cos} [/mm] . Für Werte um [mm] x\approx0 [/mm] liefert diese Summe auch Werte um 0, und daher kannst du das in die Taylorreihe der e-Funktion um 0 einsetzen.
|
|
|
|
