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| Aufgabe | | Reihenwntwicklung von arcsin(x) [mm] [-1,1]\to \IR [/mm] |
Okay...Das war soweit alls nicht so das Problem...ich habe, wie wir es auch machen sollten, die Taylorreihe angewandt. Nun habe ich ein Ergebnis, aber bei Wikipedia habe ich eine ganz andere Taylorreihe der arcsin Funktion gefunden. Vielleicht könnt ihr mir ja sagen, wo mein Fehler liegt.
Ich habe die Reihenentwicklung um 0, also im Mittelpunkt, betrachtet.
aus f(0)= und [mm] f´(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}= (1-x^2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] erhält man:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-x^2)^k [/mm] und somit also auch [mm] f(x)=C+\integral_{}^{}{f´(x) dx}
[/mm]
= [mm] C+\integral_{}^{}{\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^kx^{2k} dx} [/mm] und es muss also weiterhin gelten:
[mm] f(x)=C+\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k\integral_{}^{}{x^{2k} dx} [/mm] = [mm] C+\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k\bruch{x^{2k+1}}{2^{k+1}}
[/mm]
Aus f(0)=0 folgt also C=0 und auch weiter
f(x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\bruch{1}{2})(-\bruch{1}{2}-1)...(-\bruch{1}{2}-(k-1)}{k!}(-1)^k\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}= [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\bruch{1}{2})(-\bruch{3}{2})...(-\bruch{2k-1}{2})(-1)^k}{k!}\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}= [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{-\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}...\bruch{2k-1}{2}}{k!}\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}= [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1*3*...*(2k-1)}{k!2^k}\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
[mm] arcsin(x)=x+\bruch{1}{2}+\bruch{1*3}{2*4}\bruch{x^5}{5}+\bruch{1*3*5}{2*4*6}\bruch{x^7}{7}+....
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}= \bruch{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
so...und warum komme ich nicht auf das Ergebnis bei Wikipedia bei dem Unterpunkt Reihenentwicklung?? http://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus
Wo liegt mein fehler? ich erkenne es selbst nicht.
MfG Mathegirl
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> Reihenwntwicklung von arcsin(x) [mm][-1,1]\to \IR[/mm]
> Okay...Das
> war soweit alls nicht so das Problem...ich habe, wie wir es
> auch machen sollten, die Taylorreihe angewandt. Nun habe
> ich ein Ergebnis, aber bei Wikipedia habe ich eine ganz
> andere Taylorreihe der arcsin Funktion gefunden. Vielleicht
> könnt ihr mir ja sagen, wo mein Fehler liegt.
>
> Ich habe die Reihenentwicklung um 0, also im Mittelpunkt,
> betrachtet.
>
> aus f(0)= und [mm]f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}= (1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> erhält man:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-x^2)^k[/mm]
> und somit also auch [mm]f(x)=C+\integral_{}^{}{f'(x) dx}[/mm]
>
> =
> [mm]C+\integral_{}^{}{\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^kx^{2k} dx}[/mm]
> und es muss also weiterhin gelten:
>
> [mm]f(x)=C+\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k\integral_{}^{}{x^{2k} dx}[/mm]
> = [mm]C+\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k\bruch{x^{2k+1}}{2^{k+1}}[/mm]
>
> Aus f(0)=0 folgt also C=0 und auch weiter
>
> f(x)=
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\bruch{1}{2})(-\bruch{1}{2}-1)...(-\bruch{1}{2}-(k-1)}{k!}(-1)^k\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}=[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\bruch{1}{2})(-\bruch{3}{2})...(-\bruch{2k-1}{2})(-1)^k}{k!}\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}=[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1*3*...*(2k-1)}{k!2^k}\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm] [mm] (\*)
[/mm]
>
>
> [mm]arcsin(x)=x+\bruch{1}{2}+\bruch{1*3}{2*4}\bruch{x^5}{5}+\bruch{1*3*5}{2*4*6}\bruch{x^7}{7}+....[/mm]
Hallo,
bis hierher sieht's doch richtig aus, oder hast Du Zweifel?
Ich würde einfach hier aufhören. Wofür weitermachen?
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}= \bruch{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
Das stimmt nicht mehr. Wie bist du von der vorhergehenden Zeile oder von [mm] (\*) [/mm] hierhergekommen?
Aber wie gesagt: einfach aufhören, wenn's am schönsten ist!
Gruß v. Angela
P.S.: noch ein Tip:
die Ableitungestriche sieht man, wenn Du kein Accent verwedest, sondern den Strich überm #.
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Okay, das werde ich mal berücksichtigen 
Naja, ich wusste nicht so recht, ob ich dann nun schon "fertig" bin.
Aber nun folgt das nächste Problem. Ich muss nun noch eine Taylorreihe für die arccos(x) bilden, und DAS ist für mich im Gegensatz ein echtes Problem, warum weiß ich selbst nicht.
Bisher habe ich:
f´(x)= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}= 1+\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1*3}{2*4}x^4+\bruch{1*3*5}{2*4*6}x^6+...
[/mm]
man erhält daraus [mm] arccos(x)+c_1=c_2-x-\bruch{1}{2*3}x^3-\bruch{1*3}{2*4*5}x^5-\bruch{1*3*5}{2*4*6*7}x^7-.....
[/mm]
Für x=0: [mm] \bruch{\pi}{2}+c_1=c_2
[/mm]
arccos(x)= [mm] \bruch{\pi}{2}-x-\bruch{1}{2*3}x^3-\bruch{1*3}{2*4*5}x^5-\bruch{1*3*5*}{2*4*6*7}x^7-...
[/mm]
Aber das hat glaub ich nicht viel mit der Reihenbestimmung nach Taylor zu tun...
Mathegirl
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> Aber nun folgt das nächste Problem. Ich muss nun noch eine
> Taylorreihe für die arccos(x) bilden, und DAS ist für
> mich im Gegensatz ein echtes Problem, warum weiß ich
> selbst nicht.
Hallo,
ich könnt's mir schon denken...
Unsereins ist ja auch von dieser Welt.
>
> Bisher habe ich:
>
> f´(x)= [mm]-\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}= 1+\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1*3}{2*4}x^4+\bruch{1*3*5}{2*4*6}x^6+...[/mm]
>
> man erhält daraus
> [mm]arccos(x)+c_1=c_2-x-\bruch{1}{2*3}x^3-\bruch{1*3}{2*4*5}x^5-\bruch{1*3*5}{2*4*6*7}x^7-.....[/mm]
Das [mm] c_1 [/mm] brauchst Du nicht.
Wie zuvor bekommst Du
[mm] arccos(x)=c_2-x-\bruch{1}{2*3}x^3-\bruch{1*3}{2*4*5}x^5-\bruch{1*3*5}{2*4*6*7}x^7-.....
[/mm]
>
> Für x=0:
[mm]\bruch{\pi}{2}=c_2[/mm],
Also
>
> arccos(x)=
> [mm]\bruch{\pi}{2}-x-\bruch{1}{2*3}x^3-\bruch{1*3}{2*4*5}x^5-\bruch{1*3*5*}{2*4*6*7}x^7-...[/mm]
>
>
> Aber das hat glaub ich nicht viel mit der Reihenbestimmung
> nach Taylor zu tun...
Es ist gemacht wie zuvor,
bloß daß nicht alles so genau hingeschrieben ist.
Wenn man weiß, daß [mm] \arccos [/mm] x = [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] - [mm] \arcsin [/mm] x ,
dann braucht man sogar fast gar nichts zu tun.
Gruß v. Angela
>
>
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Di 02.02.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Also stimmt das so doch? *lach* Ich werde mit den Taylorreihen wohl nie schlau!! Merkwürdich das ICH überhaupt malwas hinbekomme und wenn ich wa hinbekomme, dann weiß ich nicht wann schluss ist.
Danke angela!
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