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| Aufgabe | | Seien f,g U - > [mm] \IC [/mm] holomorph und p [mm] \in [/mm] U. Man zeige, dass die Taylorreihen zum Entwicklungspunkt p von f+g und f*g gerade die Summe und das Produkt der Taylorreihen von f und g sind. |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich das so zeigen kann:
ich definiere
[mm] f(z):=\summe_{k=1}^{\infty}a_kz^k
[/mm]
[mm] g(z):=\summe_{k=1}^{\infty}b_kz^k
[/mm]
daraus folgt
f+g: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (a_k+b_k)z^k
[/mm]
f*g: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k*b_k*(z^k)^2
[/mm]
Taylorreihe
zu f(z): [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{(k)}(p)}{k!}*(z-p)^k
[/mm]
zu [mm] g(z):\summe_{k=1}^{n}\bruch{g^{(k)}(p)}{k!}*(z-p)^k
[/mm]
zu f+g: [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{(k)}(p)+g^{(k)}(p)}{k!}*(z-p)^k
[/mm]
zu f*g: [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{(k)}(p)*g^{(k)}(p)}{(k!)^2}*((z-p)^k)^{2}
[/mm]
Taylorreihe zu f+g=Taylorreihe zu f(z) + Taylorreihe zu g(z) und
Taylorreihe zu f*g=Taylorreihe zu f(z) * Taylorreihe zu g(z)
kann ich das so schreiben, oder ist das zu einfach gedacht?
schon mal vielen Dank für die Antworten
fg
Chrissi
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Hallo chriss2709,
> Seien f,g U - > [mm]\IC[/mm] holomorph und p [mm]\in[/mm] U. Man zeige, dass
> die Taylorreihen zum Entwicklungspunkt p von f+g und f*g
> gerade die Summe und das Produkt der Taylorreihen von f und
> g sind.
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht sicher, ob ich das so zeigen kann:
>
> ich definiere
> [mm]f(z):=\summe_{k=1}^{\infty}a_kz^k[/mm]
> [mm]g(z):=\summe_{k=1}^{\infty}b_kz^k[/mm]
>
> daraus folgt
> f+g: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (a_k+b_k)z^k[/mm]
> f*g:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k*b_k*(z^k)^2[/mm]
>
> Taylorreihe
> zu f(z): [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{(k)}(p)}{k!}*(z-p)^k[/mm]
> zu [mm]g(z):\summe_{k=1}^{n}\bruch{g^{(k)}(p)}{k!}*(z-p)^k[/mm]
>
> zu f+g:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{(k)}(p)+g^{(k)}(p)}{k!}*(z-p)^k[/mm]
> zu f*g:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{(k)}(p)*g^{(k)}(p)}{(k!)^2}*((z-p)^k)^{2}[/mm]
>
> Taylorreihe zu f+g=Taylorreihe zu f(z) + Taylorreihe zu
> g(z) und
> Taylorreihe zu f*g=Taylorreihe zu f(z) * Taylorreihe zu
> g(z)
>
> kann ich das so schreiben, oder ist das zu einfach
> gedacht?
Für die Summe der Taylorreihen hast Du das nun gezeigt.
Bei der Multiplikation mußt Du die beiden Taylorrreihen
wirklich multiplizieren.
Das geschieht z.B. mit der ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktformel
>
> schon mal vielen Dank für die Antworten
>
> fg
> Chrissi
Gruss
MathePower
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