Taylorreihe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 22.07.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Bestimme die Taylorreihe der Funktion f:IR-->IR mit f(x)=(x-1)^2012 um den Punkt a = 0. |
Ich weiß dass bei ganzrationalen Funktionen die Taylorreihe der Fkt selbst entspricht, trotzdem möchte ich die Funktion gerne als Reihe schreiben:
f'(x)=2012(x-1)^2011
f''(x)=2012*2011*(x-1)^2010 usw.
f'(0)=-2012
f''(0)=2012*2011
Ableitung wechselt immer das VZ und ab der 2012. Abl ist die Abl 0.
Ist dann folgende Reihe ok:
[mm] \summe_{k=0}^{2012} \bruch{(-1)^k * 2012!}{(2012-k)!}x^k
[/mm]
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Hallo,
> Bestimme die Taylorreihe der Funktion f:IR-->IR mit
> f(x)=(x-1)^2012 um den Punkt a = 0.
> Ich weiß dass bei ganzrationalen Funktionen die
> Taylorreihe der Fkt selbst entspricht, trotzdem möchte ich
> die Funktion gerne als Reihe schreiben:
>
> f'(x)=2012(x-1)^2011
> f''(x)=2012*2011*(x-1)^2010 usw.
>
> f'(0)=-2012
> f''(0)=2012*2011
> Ableitung wechselt immer das VZ und ab der 2012. Abl ist
> die Abl 0.
>
> Ist dann folgende Reihe ok:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} \bruch{(-1)^k * 2012!}{(2012-k)!}x^k[/mm]
Da kann etwas nicht ganz stimmen. Bedenke, dein Funktionsterm ist ein Binom. Die Koeffizienten deiner Reihe sollten daher Binomialkoeffizienten sein. Allerdings: das, was schon dasteht, ist richtig, es fehlt nur noch etwas. 
Gruß, Diophant
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Hallo rollroll,
kleine Ergänzung zu Diophants Antwort, der einen Tick schneller war 
Mit seinem Hinweis, [mm]f(x)=(x-1)^{2012}[/mm] als Binom zu erkennen, kannst du dir jegliches Ableiten und sämtliches Nachdenken ersparen, wenn du mal den binomischen Lehrsatz herauskramst ...
Damit steht alles da ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 22.07.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, dann also so:
[mm] \summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\ k} x^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Ok, dann also so:
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> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\
k} x^k[/mm] = ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k[/mm] ?
Jo, wegen [mm]\vektor{n\\
k}=0[/mm] für [mm]k>n[/mm], kannst du das auch als unendliche Reihe schreiben:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\vektor{2012\\
k}\cdot{}x^k[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann also so:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\ k} x^k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k[/mm] ?
Nein das stimmt nicht !
[mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} [/mm]
Schau Dir mal dir Exponenten von x und y an. Siehst Du deinen Fehler ?
Edit: https://matheraum.de/read?i=904411
FRED
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Moinsen Fred,
aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
[mm] $(x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\k}(-1)^{2012-k}x^k$
[/mm]
Und [mm] $(-1)^{2012-k}=(-1)^k$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Moinsen Fred,
>
> aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
>
> [mm](x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\k}(-1)^{2012-k}x^k[/mm]
>
> Und [mm](-1)^{2012-k}=(-1)^k[/mm]
Upps ! Nichts ist schwieriger, als genau hinsehen ! Klar Du hast recht.
Ob dem Fragesteller auch klar war, dass er es richtig hat, weil n=2012 gerade ist ?
FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Aye!
> > Moinsen Fred,
> >
> > aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
> >
> >
> [mm](x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\
k}(-1)^{2012-k}x^k[/mm]
> >
> > Und [mm](-1)^{2012-k}=(-1)^k[/mm]
>
> Upps ! Nichts ist schwieriger, als genau hinsehen ! Klar Du
> hast recht.
>
> Ob dem Fragesteller auch klar war, dass er es richtig hat,
> weil n=2012 gerade ist ?
Das habe ich ihm stillschweigend unterstellt ...
Charmanten Sonntag noch!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aye!
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> > > Moinsen Fred,
> > >
> > > aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
> > >
> > >
> > [mm](x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\
k}(-1)^{2012-k}x^k[/mm]
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> > >
> > > Und [mm](-1)^{2012-k}=(-1)^k[/mm]
> >
> > Upps ! Nichts ist schwieriger, als genau hinsehen ! Klar Du
> > hast recht.
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> > Ob dem Fragesteller auch klar war, dass er es richtig hat,
> > weil n=2012 gerade ist ?
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> Das habe ich ihm stillschweigend unterstellt ...
>
> Charmanten Sonntag noch!
Ebenso
Gruß FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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