Taylorreihe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 24.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben sie die Funktion f:IR--->IR mit f(x)= exp(1/x) für x<0 und 0 für x [mm] \ge [/mm] 0.
a) Zeige, dass f unendlich oft diffbar ist.
b) Bestimme die Tayorreihe im Punkt 0.
c) Für welche x [mm] \in [/mm] IR konvergiert die Taylorreihe gegen f. |
a) Außerhalb der 0 ist die Diffbarkeit klar (Komposition diffbarer Funktionen)
Für die Ableitung gilt, wenn x<0: f'(x)= exp(1/x) * (- [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ),
f''(x)= exp(1/x)* ( - [mm] \bruch{1}{x^2}) [/mm] + exp(1/x)* [mm] \bruch{2}{x^3}.
[/mm]
Allgemein: P(1/x) * exp(1/x) , ich denke man braucht die Ableitung nicht explizit anzugeben. Wobei P ein Polynom vom Grad n+1 ist.
Im Punkt 0 filt: [mm] f^n [/mm] (0)=0. Es ist noch [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x} [/mm] * P(1/x) * exp(1/x) = 0 .
b) Hier fängt das Problem an, ich kenne zwar die Taylor-Formel, aber wie gehe ich hier vor? Die Ableitung an der Stelle 0 ist ja immer 0.... Danke schonmal für eure Hilfe!
c) Ist hier dann die Antwort, da die Taylorreihe 0 ist, für alle x [mm] \ge [/mm] 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 24.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
Gibt's Ideen bzw. was von dem was ich geschrieben hatte, stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
Muss man die Ableitung eigentlich nochn zwingend induktiv beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sie die Funktion f:IR--->IR mit f(x)= exp(1/x) für
> x<0 und 0 für x [mm]\ge[/mm] 0.
> a) Zeige, dass f unendlich oft diffbar ist.
> b) Bestimme die Tayorreihe im Punkt 0.
> c) Für welche x [mm]\in[/mm] IR konvergiert die Taylorreihe gegen
> f.
>
>
> a) Außerhalb der 0 ist die Diffbarkeit klar (Komposition
> diffbarer Funktionen)
> Für die Ableitung gilt, wenn x<0: f'(x)= exp(1/x) * (-
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] ),
> f''(x)= exp(1/x)* ( - [mm]\bruch{1}{x^2})[/mm] + exp(1/x)*
> [mm]\bruch{2}{x^3}.[/mm]
> Allgemein: P(1/x) * exp(1/x) , ich denke man braucht die
> Ableitung nicht explizit anzugeben. Wobei P ein Polynom vom
> Grad n+1 ist.
Ja, für x<0 ist das richtig. Zeige das mit Induktion.
> Im Punkt 0 filt: [mm]f^n[/mm] (0)=0. Es ist noch
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x}[/mm] * P(1/x) * exp(1/x) =
> 0 .
>
> b) Hier fängt das Problem an, ich kenne zwar die
> Taylor-Formel, aber wie gehe ich hier vor? Die Ableitung
> an der Stelle 0 ist ja immer 0....
Dann sieht die Taylorrihe so aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n, [/mm] wobei alle [mm] a_n [/mm] = 0 sind.
> Danke schonmal für eure
> Hilfe!
>
> c) Ist hier dann die Antwort, da die Taylorreihe 0 ist,
> für alle x [mm]\ge[/mm] 0.
Ja
FRED
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