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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Taylorreihe
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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Sa 06.10.2012
Autor: Lu-

Wir hatten die Aufgabe die Taylorreihe für f(x) = [mm] x/(2+x^2) [/mm] mit Entwicklungsstelle [mm] x_0=0 [/mm] zu bestimmen.
T[f,0]= [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1} [/mm]
Ist ja soweit klar ;)

Nun hat mein Professor dazugeschrieben: [mm] f^{(j)} [/mm] (0)= (2j+1)! [mm] \frac{{-1}^j}{2^{j+1}} [/mm]

Ich hab versucht das zu verstehen, indem ich gleichsetzte:
[mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1} [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j [/mm]

Kann mir das vlt kurz wer erklären?
Mfg LU


        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Sa 06.10.2012
Autor: Helbig

Hallo Lu-,

> Wir hatten die Aufgabe die Taylorreihe für f(x) =
> [mm]x/(2+x^2)[/mm] mit Entwicklungsstelle [mm]x_0=0[/mm] zu bestimmen.
>  T[f,0]= [mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}[/mm]
>  
> Ist ja soweit klar ;)
>  
> Nun hat mein Professor dazugeschrieben: [mm]f^{(j)}[/mm] (0)=
> (2j+1)! [mm]\frac{{-1}^j}{2^{j+1}}[/mm]

So, so. Dies ist falsch, wie Du schon für $j=0$ siehst.
Für gerade $j$ ist [mm] $f^{(j)}(0)=0$. [/mm] Jedenfalls, wenn Deine Taylorreihe richtig ist.

Gruß,
Wolfgang

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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Sa 06.10.2012
Autor: Lu-

Und wie kann ich aus der Taylorreihe, den Wert [mm] f^{(j)} [/mm] (0) herausfinden?
Ich hatte ja an soetwas wie einen koeffizientenvergleich gedacht:
$ [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1} [/mm] $ = $ [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j [/mm] $
Aber ich weiß nicht so recht wie ich hier gleichsetzten soll ..

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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Sa 06.10.2012
Autor: Helbig


> Und wie kann ich aus der Taylorreihe, den Wert [mm]f^{(j)}[/mm] (0)
> herausfinden?
>  Ich hatte ja an soetwas wie einen koeffizientenvergleich
> gedacht:
>  [mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}[/mm] =
> [mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j[/mm]
>  Aber ich weiß
> nicht so recht wie ich hier gleichsetzten soll ..

Schreib doch:

[mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k[/mm].

Und dann setze $k=2j+1$, und schreibe den Koeffizienten für $j=(k-1)/2$.

Gruß,
Wolfgang



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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:47 So 07.10.2012
Autor: Lu-

Ah okay danke ;)

[mm] f^{(k)} [/mm] (0)= [mm] \frac{k! (-1)^{\frac{k-1}{2}}}{2^{\frac{k+1}{2}}} [/mm]
Würde das passen?

Mfg,
LU

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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 So 07.10.2012
Autor: Helbig


> Ah okay danke ;)
>  
> [mm]f^{(k)}[/mm] (0)= [mm]\frac{k! (-1)^{\frac{k-1}{2}}}{2^{\frac{k+1}{2}}}[/mm]
>  
> Würde das passen?

Sieht gut aus! Allerdings gilt die Formel nur für ungerade $k$. Für gerade $k$ ist die k-te Ableitung 0.

Gruß Wolfgang.


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Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:10 So 07.10.2012
Autor: Lu-

Jap, danke ;))
Mfg LU

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